Limes mithilfe der Taylorreihe

26.11.2014, 04:36

ConnyF

Meine Frage:
Schönen guten Tag.

Ich weiß es ist spät, aber es lässt mir einfach keine Ruhe...

Wir haben als aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(x\pi)-sin(x\pi )}{x^{3} } \end{eqnarray*}$

Wir sollen das mithilfe der Taylorreihen lösen..

Meine Ideen:
Zuerst hab ich einfach mal umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(x\pi)-sin(x\pi )}{x^{3} } = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin(x\pi )}{cos(x\pi )} -sin(x\pi )}{x^{3} } = \lim_{x \to 0} \frac{sin(x\pi )*x^{-3} }{cos(x\pi )}-sin(x\pi )*x^{-3} \end{eqnarray*}$

und nun die Taylorreihen verwendet, womit ich bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n+1}*\pi ^{2n+1}*x^{-3} }{(2n+1)!} } {\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n}*\pi ^{2n}}{(2n)!} } - \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n+1}*\pi ^{2n+1}*x^{-3} }{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

war. (ich hab das limes weggelassen inzwischen.. ich blick bei latex nicht so ganz durch) :x

nun hab ich natürlich noch den sinus zusammengefasst, womit ich letztendlich dann bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n-2}*\pi ^{2n+1} }{(2n+1)!} } {\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n}*\pi ^{2n} }{(2n)!} } - \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} *\frac{x^{2n-2}*\pi ^{2n+1} }{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

war. So.. nun hatte ich folgende Überlegung:
Wenn x sowieso gegen 0 läuft sind alle Summanden 0, ausser:
wenn 0^0 zutrifft..
das heißt sinus ist immer null, ausser wenn n=1.. und cosinus ist immer 0 ausser wenn n=0

Die beiden Sinusterme ergeben somit
$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi ^{3} }{6} \end{eqnarray*}$
der Cosinus term ergibt 1.. womit man dann auf
$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi ^{3} }{6} - (-\frac{\pi ^{3} }{6} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings stimmt das anscheinend nicht.. Es müsste
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi ^{3} }{2} \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte! Ich finde den/die Fehler trotz mehrmaligem durchrechnen nicht..

Schöne Grüße

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

Tut mir leid, keine Ahnung warum diese Fehlermeldung kommt.

Ich hab es hier als Anhang drangemacht.. naja, oder es zumindest versucht.

Schöne Grüße!

26.11.2014, 08:45

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor Du mit Reihenentwicklungen auf den Term losgehst, könntest Du Deine angefangenen Umformungen fortsetzen.
Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan(\pi x)-\sin(\pi x)}{x^3}=\ldots=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\cdot\frac{\pi \sin^2(\pi x)}{(1+cos(\pi x))\cos(\pi x)x^2}=\left(\frac{\sin(\pi x)}{(\pi x)}\right)^3\cdot \frac{\pi^3}{(1+\cos(\pi x))\cos(\pi x)}. \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du alles auf einen Grenzwert zurückführen, der enteder bereits bekannt oder bequem anhand der Reihenentwicklung des Sinus abzulesen ist.

26.11.2014, 14:14

ConnyF

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine Antwort.

Muss ich denn um die Taylorreihen anwenden zu dürfen weiter vereinfachen?
Wie bist du überhaupt zu dem Ergebnis gekommen? Ich kann deinen Umformungen nicht folgen..

Schöne Grüße

26.11.2014, 14:35

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ConnyF

Wie bist du überhaupt zu dem Ergebnis gekommen? Ich kann deinen Umformungen nicht folgen..

Zunächst hattest Du ja schon folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{\tan(\pi x)-\sin(\pi x)}{x^3}=\frac{\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}-\sin(\pi x)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Betrachte nun den Zähler des Bruchs auf der rechten Seite.
Erweitere zunächst mit $\begin{eqnarray*} \cos(\pi x) \end{eqnarray*}$ und klammere dann $\begin{eqnarray*} \sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ aus.

Dann kannst Du, gemäß 3. binom. Formel, mit $\begin{eqnarray*} (1+\cos(\pi x)) \end{eqnarray*}$ erweitern und dann den trig. Pythagoras einwechseln.

26.11.2014, 14:54

derdickederbande

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erlaube mir anzumerken, dass es einfacher und übersichtlicher ist zuerst
in Taylorreihen zu entwickeln.

26.11.2014, 15:06

Matt Eagle

Auf diesen Beitrag antworten »

Na das ist wohl eher Geschmackssache, denn ich z.B. hab die Reihenentwicklung des tan nicht ad hoc parat und bevor ich für die Bestimmung der ersten paar Reihenglieder, die Ableitungen ausgerechnet habe bin ich mit dem Umformen schon lange fertig.

Aber das ist wie gesagt meine Einschätzung und somit eben Geschmackssache.

26.11.2014, 15:23

derdickederbande

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss tatsächlich sogar jedesmal die Taylorreihe des Sinus nachschlagen - vom Tangens ganz zu schweigen.
Trotzdem würde ich behaupten, dass die Entwicklung nach Taylor zu Beginn am ehesten dem KISS-Prinzip entspricht.

26.11.2014, 17:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich auch noch meinen Senf dazugebe: Man kann sich des $\begin{align*} \pi \end{align*}$ sofort entledigen, d.h. muss es nicht ewig durch alle Taylorreihen durchschleifen, wenn man sofort die Substitution $\begin{align*} t=x\pi \end{align*}$ vornimmt. Dann entspricht $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ dem Grenzübergang $\begin{align*} t\to 0 \end{align*}$ , es ist demnach

$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan(x\pi)-\sin(x\pi)}{x^3} = \pi^3\lim_{t\to 0} \frac{\tan(t)-\sin(t)}{t^3} \end{align*}$ ,

was die nachfolgenden Terme dann etwas angenehmer macht.

26.11.2014, 18:42

ConnyF

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid dass ich so spät reagiere, ich komm gerade von der Uni.

Ich denke ich hab das soweit verstanden.. ich werds nochmal versuchen!

Vielen dank für eure Hilfe Big Laugh

Schönen Abend noch!

26.11.2014, 20:05

ConnyF

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich komme nun zwar auf das richtige Ergebnis, allerdings ist mir eins nicht ganz klar..

Das könnte jetzt etwas doof klingen, aber gibts sowas wie eine "Regel" anhand der man erkennen kann, wann man den Grenzwert berechnen darf? Ich schätze mal ab dem Punkt machts auch Sinn die Taylorreihe zu verwenden?

Wenn ich den Grenzwert nämlich zum Beispiel bei

$\begin{eqnarray*} \pi ^{3}*\lim_{t \to 0 } \frac{sin(t)-sin(t)*cos(t)}{cos(t)*t^{3} }=\pi ^{3}*\lim_{t \to 0 } \frac{sin(t)*t^{-3} -sin(t)*cos(t)*t^{-3} }{cos(t) } \end{eqnarray*}$

berechnen möchte und dazu die Taylorreihen verwende komm ich für n=1 bei sinus und n=0 bei cosinus auf:

$\begin{eqnarray*} \pi^{3}*\left[-\frac{1}{6}+\frac{1}{6} \right] = 0 \end{eqnarray*}$

(bei allen anderen Werten für n kommt 0 heraus)

Das Ergebnis macht auch Sinn, letztendlich läuft Cosinus gegen eins und ich zieh einfach den einen Sinusterm vom anderen (gleichen) ab - heißt ich glaub nicht dass es ein Rechenfehler ist..

Schöne Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Limes mithilfe der Taylorreihe

Verwandte Themen