Betragsungleichung

26.11.2014, 09:01

Zefir

Betragsungleichung

Meine Frage:
Hey hey smile

bräuchte mal eure Hilfe bei einer Betragsungleichung, komme da irgentwie nicht weiter :/
Die Sufu hilft mir da leider nicht großartig da ich nur bei dieser Konkreten Ungleichung Probleme hab. Also es geht um diese :

$\begin{eqnarray*} \frac{|x + 3|}{6-x} > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ungleichung.

Meine Ideen:
Ich habe nun erstmal damit angefangen, 4 verschiedene Fälle zu betrachten. Undzwar

$\begin{eqnarray*} I : x+3 > 0 , x-6 > 0 \Rightarrow -3 < x < 6 II: x+3 > 0 , x-6 < 0 \Rightarrow x > 6 III: x+3 < 0 , x-6 > 0 \Rightarrow x < -3 IV: x+3 < 0 , x-6 < 0 \Rightarrow L = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$

(sorry wegen der leeren Menge und das die Zeilen so krumm übern ander sind, hab noch nicht oft mit dem Formeleditor gearbeitet :/ )

Als nächstes habe ich dann den Betrag aufgelöst und mir die Ungleichung für den jeweiligen Betrachtungsbereich angeschaut.

Um ein wenig Rechnerei zu sparen und der übersichthalber poste ich mal nur die ganze Rechnung an der Stelle an der ich Probleme hab:

$\begin{eqnarray*} I : x+3 > 0 , x-6 > 0 \Rightarrow -3 < x < 6 L = \left\{ x | 0 < x < 6 \right\} II: II: x+3 > 0 , x-6 < 0 \Rightarrow x > 6 L = \left\{\right\} {} III: x+3 < 0 , x-6 > 0 \Rightarrow x < -3 L = \left\{ x < -3 \right\} IV: x+3 < 0 , x-6 < 0 \Rightarrow L = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$

Problem: bei III:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x-3}{6-x} > \frac{1}{2} \Rightarrow -x-3 > \frac{1}{2}\left(6-x\right) \Rightarrow -x-3 > 3 - \frac{1}{2}x \Rightarrow -1.5x > 6 \Rightarrow x < -9 \Rightarrow L = \left\{ x | x < -9\right\} \end{eqnarray*}$

Nun sollte das Gesamtergebnis ja die Vereinigung aller Mengen sein. Die einzige Menge die aber Sinn ergibt ist die aus I : 0 < 6 < x.
Heisst ich habe bei III wohl irgentwie nen Fehler drin... oder vlt ja auch wo anders. Dafür brauche ich eure Hilfe. Wäre schön wenn jemand mal rüber schauen kann um zu sagen ob das soweit richtig is und n Tipp geben wo der Wurm steckt Augenzwinkern

Danke schoma!

26.11.2014, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} I : x+3 > 0 , x-6 > 0 \Rightarrow -3 < x < 6 II: x+3 > 0 , x-6 < 0 \Rightarrow x > 6 III: x+3 < 0 , x-6 > 0 \Rightarrow x < -3 IV: x+3 < 0 , x-6 < 0 \Rightarrow L = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$

Anscheinend hast du dich hier überall verschrieben und meinst stattdessen
$\begin{eqnarray*} I : x+3 > 0 , {\color{red}6-x} > 0 \Rightarrow -3 < x < 6 II: x+3 > 0 , {\color{red}6-x} < 0 \Rightarrow x > 6 III: x+3 < 0 , {\color{red}6-x} > 0 \Rightarrow x < -3 IV: x+3 < 0 , {\color{red}6-x} < 0 \Rightarrow L = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$ .

26.11.2014, 09:38

klarsoweit

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RE: Betragsungleichung

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} I : x+3 > 0 , x-6 > 0 \Rightarrow -3 < x < 6 L = \left\{ x | 0 < x < 6 \right\} \end{eqnarray*}$

Aus x-6 > 0 folgt x > 6. Damit ist deine Lösung hinfällig.

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} II: x+3 > 0 , x-6 < 0 \Rightarrow x > 6 L = \left\{\right\} {} \end{eqnarray*}$

Aus x-6 < 0 folgt x < 6. Man kann auch leicht nachrechnen, daß x=5 eine Lösung ist. Damit ist deine Lösung hinfällig.

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} III: x+3 < 0 , x-6 > 0 \Rightarrow x < -3 L = \left\{ x < -3 \right\} \end{eqnarray*}$

Dann müßte x=-4 eine Lösung sein. Das paßt aber nicht zur Bedingung x-6 > 0. Damit ist deine Lösung hinfällig.

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} IV: x+3 < 0 , x-6 < 0 \Rightarrow L = \left\{\right\} \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachrechnet, ist x=-14 eine Lösung. Damit ist deine Lösung hinfällig. Generell brauchst du den Fall x - 6 > 0 nicht weiter betrachten, da dann der Nenner negativ und somit auch der ganze Bruch negativ wird.

Ein Plot könnte das ganze Thema veranschaulichen:

26.11.2014, 10:23

Zefir

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ohhh sorry sorry sorry!!! Hal hat recht... war wohl so mit dem Formeleditor beschäftigt das ich n Zahlendreher drin hab unglücklich

es muss wie ganz oben angegeben "6-x" heissen und nicht "x-6" ....

26.11.2014, 10:24

Zefir

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kann das ganze leider nichtmehr editieren.... :/
wären meine Ansätze ohne den Zahlendreher denn richtig? oder auch kompletter Mumpitz?

26.11.2014, 10:39

klarsoweit

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Wie ich schon sagte, braucht man denn Fall x - 6 > 0 bzw. 6 - x < 0 nicht weiter betrachten. Somit sind nur noch die Fälle I und III relevant. Fall I ist ok. Bei Fall III kann die Lösung x < -3 nicht stimmen, da x = -4 keine Lösung ist, wie man leicht nachrechnet. smile

26.11.2014, 13:29

Zefir

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mhh, das verstehe ich iwie nich :/

ich dachte ich muss die fälle unterscheiden, da ich doch am Anfang mit 6-x multipliziere, um den Bruch aufzulösen. Jetzt macht es doch aber nen Unterschied ob 6-x positiv oder negativ ist, da ich im negativen Fall das ">" umdrehen müsste oder nich?

Und zu III : müsste ich den Betrag dann in der Rechnung welche Werte ich betrachte schon auflösen?

Also : $\begin{eqnarray*} 6-x>0 \Rightarrow -x>-6 \Rightarrow x<6 |x+3|<0 \Rightarrow -x-3<0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x>3 L=\left\{x | 3<x<6\right\} \end{eqnarray*}$

denn dann würde bei der Vereinigung der Mengen I und III ja das richtige Ergebnis $\begin{eqnarray*} L = \left\{x | 0<x<6\right\} \end{eqnarray*}$ rauskommen oder nich? :>

sorry falls ich das offensichtliche nicht erkennen sollte.... :/ Betragsungleichungen sind echt nich mein Liebling.... Big Laugh

26.11.2014, 13:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zefir
ich dachte ich muss die fälle unterscheiden, da ich doch am Anfang mit 6-x multipliziere, um den Bruch aufzulösen. Jetzt macht es doch aber nen Unterschied ob 6-x positiv oder negativ ist, da ich im negativen Fall das ">" umdrehen müsste oder nich?

Wie ich schon sagte, reicht ein einfacher scharfer Blick auf den Bruch. Ist der Nenner negativ, dann ist der ganze Bruch negativ oder bestenfalls Null. Aber er ist niemals größer als 1/2. Damit kommt nur noch der Fall "Nenner ist positiv" in Frage.

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} |x+3|<0 \Rightarrow -x-3<0 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x>3 \end{eqnarray*}$

Was soll das denn jetzt? verwirrt

Erstens ist ein Betragsausdruck niemals kleiner als Null und zweitens wird im Fall III die Ungleichung x+3 < 0, also x < -3 betrachtet.

26.11.2014, 14:25

Zefir

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naja dachte man untersucht das trozdem, auch wenns im Prinzip unlogisch ist, weil "scharfer blick" ja nicht wirklich n mathematisches Vorgehen ist... Big Laugh

naja egal. Also noch nen Versuch zu III :

Betrachteten Werte: $\begin{eqnarray*} x+3<0 \Rightarrow x<-3 \end{eqnarray*}$

Dann zu der Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-3}{6-x} > \frac{1}{2} \Rightarrow -x-3 > \frac{1}{2}\left(6-x\right) \Rightarrow -x-3 > 3 - \frac{1}{2}x \Rightarrow -\frac{1}{2}x > 6 \Rightarrow x < -12 \end{eqnarray*}$

heisst es dann also das es 2 Lösungsmengen gibt?

$\begin{eqnarray*} L1 : \left\{x | x < -12\right\} L2 : \left\{x | 0 < x < 6\right\} \end{eqnarray*}$

26.11.2014, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zefir
naja dachte man untersucht das trozdem, auch wenns im Prinzip unlogisch ist, weil "scharfer blick" ja nicht wirklich n mathematisches Vorgehen ist... Big Laugh

Was ist denn daran unmathematisch? geschockt

Alles ist logisch begründet.

Zitat:

Original von Zefir
heisst es dann also das es 2 Lösungsmengen gibt?

$\begin{eqnarray*} L1 : \left\{x | x < -12\right\} L2 : \left\{x | 0 < x < 6\right\} \end{eqnarray*}$

Nun ja, man kann das durchaus zusammenfassen: $\begin{eqnarray*} L = \{x \in \mathbb R | x < -12 \lor 0 < x < 6\} \end{eqnarray*}$ smile

26.11.2014, 15:04

Zefir

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Okay, ja, zusammenfassen hätte man es noch können. Aber ich bin schonmal heilfroh das es richtig is Big Laugh

vielen dank Klarsoweit smile

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