Definitionen lineare un/abhängigkeit

26.11.2014, 10:29	sadmathemagician	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionen lineare un/abhängigkeit Meine Frage: Ich bin's schon wieder (hab ja schon fast ein schlechtes Gewissen weil ich so viel frage). Ich habe 3 "Definitionen" gegeben und soll begründen warum oder warum nicht diese als Definitionen von linearer Abhängigkeit bzw Unabhängigkeit herhalten können. Und wieder mal hab ich keinen Tau wie! Also, die Definitionen sind: 1.(v1, ..., vn) ist lineare unabhängig wenn gilt: Wenn $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i \neq 0 \end{eqnarray}$ dann ist mindesten ein $\begin{eqnarray} \alpha_i \neq 0 \end{eqnarray}$ . 2.(v1, ..., vn) ist lineare unabhängig wenn für alle $\begin{eqnarray} \alpha_1,...,\alpha_i\in \mathbb K \end{eqnarray}$ \ {0} gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i \neq 0 \end{eqnarray}$ 3. (v1,..., vn) ist linear unabhängig wenn gilt: Aus $\begin{eqnarray} \alpha_{1} v_{1} + ...+ \alpha_{n} v_{n} = 0 \end{eqnarray}$ folgt alle $\begin{eqnarray} \alpha_{i} \end{eqnarray}$ sind 0 Meine Ideen: Na gut, als erstes hab ich mir die Definitionen von linear abhängig und unabhängig gesucht, diese müssten sein für linear unabhängig: (v1,...,vn) ist linear unabhängig wenn für alle $\begin{eqnarray} \alpha_1,...,\alpha_i\in \mathbb K \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \wedge (\forall i\in {1, ..., n}) \alpha_i=0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \alpha_1=...=\alpha_n=0 \end{eqnarray}$ linear abhängig: (v1,..., vn) ist linear abhängig wenn es $\begin{eqnarray} \alpha_1,...,\alpha_i\in \mathbb K \end{eqnarray}$ die nicht alle 0 sind (das heißt es gibt mindestens ein alpha ungleich 0) obwohl $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \end{eqnarray}$ . 1. Keine Ahnung wie ich das angehen soll 2. Ja (???), denn... der Nullvektor kann bei Vorhandensein mehrerer l.u. Vektoren doch nur durch eine Multiplikation der Vektoren mit dem Koeffizienten 0 dargestellt werden. Das heißt wenn alle Koeffizienten ungleich 0 sind kann der Nullvektor nie erreicht werden und das ergebnis der Summe ist immer ungleich 0. (Stimmt das? Reicht das? 3. Ja, denn... naja, genau das sagt doch die lineare unabhängigkeit aus oder? Dass ich die Vektoren alle mit 0 multiplizieren muss damit ich auf den Nullvektor komme, oder? Reicht das als Begründung? Vielen vielen Dank wieder mal für die Hilfe!
27.11.2014, 07:03	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: 1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 2 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 3 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 1.

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