Inneres, Abschluss, Rand von Q

26.11.2014, 13:36	PhilPerlmutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Inneres, Abschluss, Rand von Q Hallo erstmal, ich habe die folgende Aufgabe (im Anhang): Grundsätzlich denke ich, ist mir klar wie man argumentieren kann, nämlich damit dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ dicht ist, ,man also kein $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ finden wird, das nur in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ selbst enthalten ist. (für 1.)) . Ich habe allerdings irgendwie Probleme, das ganze formal korrekt zu Papier zubringen, könnte mir da jemand weiterhelfen?
26.11.2014, 18:36	person	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inneres, Abschluss, Rand von Q Hi, habt ihr die Dichtheit von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ schon bewiesen oder ist das hier noch zu zeigen? Wenn ihr das schon gezeigt habt, ist die Aufgabe nicht mehr so schwer: Zu Teil 1: Angenommen es existiert ein Punkt x im Inneren von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Was gilt dann für dieses x? Vergleiche mit der Dichtheit von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Zu Teil 2: Dass der abschluss der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen liegt ist klar, hier ist also zu zeigen, dass jede reelle Zahl im Abschluss der rationalen Zahlen liegt. Du beginnst mit ¨Sei $\begin{eqnarray} x\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beliebig¨und musst zeigen dass x im Abschluss von den rationalen Zahlen liegt. Wie ist der Abschluss einer Menge definiert? Nutze auch hier einfach die Dichtheit von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Zu Teil 3: Mach dir klar wie der Rand einer Menge definiert ist und benutze dann Teil 1 und Teil 2. Ich hoffe das hilft dir, viel Erfolg!
26.11.2014, 22:48	PhilPerlmutter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inneres, Abschluss, Rand von Q Also vielen Dank für die Antwort, die Dichte war schon bewiesen, ja. Ich habe einfach die Definitionen für Inneres, Abschluss und Rand verwendet, bzw. die Mengen in diese Definitionen eingesetzt mit der Aussage, dass Q in R dicht ist, und was das bedeutet. Der Weg sieht für mich zumindest jetzt logisch aus, und es war wirklich nicht schwer. MfG, Phil

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