Integral über Produktmaß mit nicht sigma-endlichem Maßraum

Neue Frage »

CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Produktmaß mit nicht sigma-endlichem Maßraum
Meine Frage:
Hallo.

Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten.

[attach]36208[/attach]

Ich bitte, die Grammatik meines Übungsleiters am Ende zu entschuldigen, da er frisch aus Schweden eingewandert ist. Sollte aber klar sein, was gemeint ist.

Klar ist, dass wegen der fehlenden sigma-Endlichkeit der Satz von Fubini nicht anwendbar ist und damit a, b und c im Allgemeinen nicht gleich sind.

a) und b) waren auch kein Problem. Die Schwierigkeiten beginnen bei Aufgabenteil c).

Hier muss ich es irgendwie schaffen, dieses Integral zu lösen, wobei mir nicht klar ist, wie das mit dem äußeren Maß funktioniert. Zur Konkretisierung meiner Frage muss ich vorher meine Ansätze erläutern:

Meine Ideen:
Zuerst habe ich mir eine alternative Darstellung für die Menge überlegt.

Dazu überdecke ich vorerst mit den Intervallen , also so:

[attach]36209[/attach]

Danach verfeinere ich meine Überdeckung zu

und so weiter, sodass klar wird:



Ich hoffe, das kann man sich ganz gut vorstellen, wie ich das meine...

Von da an weiß ich nicht weiter. Hab mir die Definition des äußeren Maßes im Skript angeschaut, die so lautet:

[attach]36211[/attach]

Mein Problem ist jetzt erst einmal: Meine Intervalle (also meine ) sind abgeschlossen, nicht offen. Spielt das eine Rolle?

Und selbst, wenn das keine Rolle spielen würde, wie würde das ganze dann weitergehen? Wie kann ich dann so ein Integral berechnen und was kommt da raus? Ich fänd ja als Ergebnis ganz sinnvoll, nachdem bei a) null und bei b) eins herauskam.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe und liebe Grüße,
Chris
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie groß ist denn das -Maß jedes deiner Überdeckungsquadrate?
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die unendlich klein sind, dann 0*1=0...

Hätte aber ganz gerne statt 0 beim Lebesgue-Maß ein dx.

Oder wie meinst du das?

Und was ist mit der Rolle des "offen" in der Definition des äußeren Maßes?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CnGDel
Wenn die unendlich klein sind, dann 0*1=0...

In einer konkreten endlichen (oder abzählbaren) Überdeckung sind sie nicht unendlich klein.
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dann immernoch nicht unendlich klein bin, dann muss ja das Zählmaß für eine kontinuierliche Intervalllänge ja immernoch unendlich sein und das Lebesguemaß größer null.

Also ist mein Maß unendlich?

Und wieso ist das nun so, wenn ich doch den Grenzwert nutze? Ich meine: Die Länge meiner Intervalle ist doch 1/n für n gegen unendlich, also 0, oder?

Also wie gesagt: Ich habe mir den Kopf zermartert und mit die Fragen, die du stellst natürlich schon selbst gestellt. Ich komme aber nicht weiter, weil ich die Antworten nicht kenne.

Wie ist es denn jetzt? 0, unendlich, Wurzel(2)?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CnGDel
Und wieso ist das nun so, wenn ich doch den Grenzwert nutze?

Wo siehst du da einen Grenzwert? Beim äußeren Maß wird das Infimum über aller Überdeckungen gebildet. Wenn nun bei allen Überdeckungen herauskommt...
 
 
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Das Infimum meiner Überdeckungen sollte die Überdeckung sein, die ich konstruiert habe. Kleiner geht's nicht. Wenn diese Überdeckung also meine Kostruktion von ist und ich bilde die Summe über alle -Maße der einzelnen Intervalle, dann muss ich nur noch wissen, wie groß eines dieser Intervalle ist.

Und das ist nun entweder 0, unendlich, oder ein infinitesimales Linienelement, die alle zusammen Wurzel(2) ergeben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir drehen uns im Kreis, weil du nicht zuhörst. Also mal anders gefragt:


Nenne mir doch bitte mal nur eine einzige abzählbare Überdeckung



mit . Die muss es ja geben, wenn (wie du immer behauptest) das Infimum oder irgendeine andere endliche Zahl ist...
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... Also eine abzählbare Überdeckung scheine ich nicht hinzubekommen, weil ich, selbst wenn ich einfach wähle, so bräuchte ich ja nur abzählbar viele Werte auf die ich mit dem Zählmaß zählen könnte.

Meinst du das?
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal ein Versuch, das zu versinnbildlichen:

Würde ich, sagen wir mal in x-Richtung, wo das Lebesgue-Maß gelten soll, sehr schmale Intervalle basteln und die jeweils in y-Richtung in einem Punkt festsetze, sodass dann m(Intervall)*z(Punkt)=Epsilon*1 ist, so müsste ich ja dann trotzdem überabzählbar viele dieser "Striche" überdecken.

Allerdings: Könnte ich dann nicht auch die Überdeckung so klein machen, dass ich nur einen Punkt in x- und in y-Richtung hätte? Und dann hätte ich das Maß ?

Aber das geht auch nicht, weil es dann wieder eine überabzählbare Überdeckung wäre, ja?

Sprich:

Die Lösung muss sein, dass meine Überdeckung, um abzählbar zu sein, in y-Richtung (mit Zählmaß) immer unendliches Maß haben muss, richtig?

Also kann die Lösung nur unendlich sein.

Und habe ich jetzt da das äußere Maß genutzt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CnGDel
Die Lösung muss sein, dass meine Überdeckung, um abzählbar zu sein, in y-Richtung (mit Zählmaß) immer unendliches Maß haben muss, richtig?

Genau so ist es. Etwas völlig anderes wäre es, wenn wir statt die darin dichte Teilmenge (d.h. nur rationale Punkte) betrachten würde: Dort hätte man dann einfach die abzählbare Überdeckung



und damit auch das äußere Maß dieser Menge gleich 0. Aber für selbst geht das eben nicht.
CnGDel Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar.

Hat ein bisschen bei mir gedauert, aber jetzt ist mir das klar.

Danke dir!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »