Quadratisches Reziprozitätsgesetz

26.11.2014, 16:07

lori_90

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Meine Frage:
Hallo, bräuchte bitte dringend Hilf bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^2\equiv 71 (311) \end{eqnarray*}$

Ist die "Gleichung" überhaupt lösbar, da ja 71 und 311 Primzahlen sind?

Vielen Danke schon mal!

LG

Meine Ideen:
Normalerweise gehe ich ja immer mit Hilfe des Reziprozitätsgesetz und den Ergänzungssätzen vor, nur kann ich hier nichts von alldem Anwenden oder?

26.11.2014, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von lori_90
Normalerweise gehe ich ja immer mit Hilfe des Reziprozitätsgesetz und den Ergänzungssätzen vor

So ist es, und hier liegt (entgegen deinem nachfolgenden Statement) durchaus der Normalfall vor.

26.11.2014, 17:25

lori_90

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Ah ja, hab die Bedingungen des Reziprozitätsgesetz überlesen Hammer

$\begin{eqnarray*} (\frac{71}{311}) = (-1)^{\frac{(71-1)}{2}*\frac{(311-1)}{2}} = (-1)^{5425} = (-1) \end{eqnarray*}$

Danke!!! Gott

26.11.2014, 17:28

HAL 9000

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Nicht so eilig: Zunächst gilt nur

$\begin{align*} \left (\frac{71}{311} \right) = (-1)^{\frac{(71-1)}{2}*\frac{(311-1)}{2}} \cdot \left (\frac{311}{71} \right) = -\left (\frac{27}{71} \right) \end{align*}$ .

27.11.2014, 09:37

lori_90

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Ok, da war ich wirklich etwas zu schnell.

Also ich hoff jetzt passts:

$\begin{eqnarray*} (\frac{71}{311}) = (-1)(\frac{311}{71}) = (-1)(\frac{27}{71}) = (-1)(\frac{3}{71})(\frac{9}{71}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{71}) = (-1)(\frac{71}{3}) = (-1)(\frac{2}{3}) = (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{9}{71}) = (\frac{71}{9}) = (\frac{4}{9}) =(\frac{2}{9})(\frac{2}{9})= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1)*(-1)*1=1 \end{eqnarray*}$

27.11.2014, 09:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von lori_90
$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{71}) = (-1)(\frac{71}{3}) = (-1)(\frac{2}{3})~{\color{red}\stackrel{?}{=}}~(-1) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{align*} \left( \frac{2}{3} \right) = -1 \end{align*}$ , also sollte am Ende dieser Gleichungskette $\begin{align*} +1 \end{align*}$ stehen.

27.11.2014, 10:37

lori_90

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Ja stimmt!!!

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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