Größtes Rechteck in einer Parabel |
| 26.11.2014, 16:48 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Größtes Rechteck in einer Parabel Wir beschäftigen uns momentan mit Textaufgaben zu den Extremwerten. Folgende bereitet mir gerade etwas Schwierigkeiten: Zeichne in ein Koordinatensystem die Parabel mit der Gleichung y = 6 - (x^2)/4 Dem Abschnitt der Parabel, der oberhalb der x - Achse liegt, ist ein Rechteck mit möglichst grossem a) Inhalt b) Umfang einzuschreiben. Meine Ideen: Die Parabel selbst habe ich schon längst gezeichnet, nur weiss ich jetzt nicht weiter. Als Hauptbedingung habe ich ja die Funktion der Parabel oder? Ist die Nebenbedingung einfach a^2 + b^2 (da ich ja zuerst das Rechteck mit dem grössten Inhalt benötige) und wenn ja, was sind meine nächsten Schritte? Muss ich da ganz konkret mit der Zeichnung arbeiten? Ergebnisse wären: Amax = 22,63 , Umax = 20 Danke für die Hilfe! |
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| 26.11.2014, 16:59 | dungerbroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hauptbedingung ist immer das, was maximal/minimal werden soll, also zunächst eine allgemeine Formel für den Inhalt/Umfang. Was kannst du dann als Nebenbedingung(en) anführen, um Variablen zu eliminieren? (Was ist für das Rechteck a und b? --> Skizze) EDIT: Bekomme für dem Umfang Ebenfalls 20 raus (Rechteck liegt dann zwischen -4 und 4); für den Flächeninhalt habe ich etwa das doppelte (Rechteck liegt dann zwischen und ), hast du vielleicht nur den halben Flächeninhalt (von 0 aus) berechnet? Oder ich habe mich verrechnet ;D |
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| 26.11.2014, 17:28 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann ist meine HB also a^2 + b^2 und die NB ist die Funktion der Parabel..... Nun muss ich wahrscheinlich einen Weg finden das eine mit dem anderen "auszudrücken" .... Aber wie? Hilft es mir da weiter, dass ich weiss dass die Nullstelle = 5 wäre und natürlich die Kante des Rechtecks auf einem Punkt der Parabel liegt? P.S.: Die Lösungen sind schon so angegeben gewesen.... Und vielen Dank 
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| 26.11.2014, 17:50 | dungerbroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
a²+b² für den Flächeninhalt? Denk nochmal gut nach ;D Nullstellen nützen dir eigentlich nicht, du weißt nur, dass die Seiten des Rechtecks nicht länger sein dürfen als der Abstand der beiden. Aber das die Ecken des Rechtecks auf dem Graphen liegen ist genau die richtige Überlegung 
Schau dir die Skizze an und überlege, wie du die Funktionsgleichung gebrauchen kannst!EDIT: Habe meine Ergebnisse geprüft, Rechnungen haben eigentlich alle gepasst - scheinbar hab ich es am Ende falsch in den Taschenrechner eingegeben; komme jetzt auch auf das angegebene Ergebnis ;D |
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| 26.11.2014, 17:59 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Haha, nein natürlich nicht. 
Sondern: a mal b (da war ich wohl noch in eine andere Rechnung vertieft).... |
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| 26.11.2014, 18:02 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht so: ich meine a = x - Wert, dann wäre b = y- Wert und diesen habe ich ja als Funktion ausgedrückt.... so setze ich x und die Funktion in die HB ein ... ? |
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| 26.11.2014, 18:06 | dungerbroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Prinzipiell richtig
die Höhe bekommst du über die Funktionsgleichung, die Breit über das x selbst - aber Vorsicht! Das Rechteck geht noch weiter als in den 1. Quadranten! Wie kannst du das ganz leicht in deiner Formel anpassen? |
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| 26.11.2014, 18:36 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm.... Wir meinst du das? Es geht zwar noch in den negativen X - Bereich, aber ich glaube kaum, dass ich dazu noch was ergänzen muss....jedenfalls nicht in der Ansatzfunktion. ? 
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| 26.11.2014, 18:41 | dungerbroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der negative x-Bereich ist wichtig, denn der Graph ist ja achsensymmetrisch
Das zeigt diese Skizze:[attach]36216[/attach] Aber die Lösung des Problems ist ganz einfach! edit von sulo: Link zu externem Host entfernt, Grafik eingefügt. |
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| 26.11.2014, 18:49 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann muss ich das also in die Formel integrieren.... Ich hätte einfach die Hälfte berechnet und es später verdoppelt... Ist aber wahrscheinlich nicht ganz korrekt so. Oder? Nun muss ich mir überlegen, wie ich das noch integriere... Nur ein Minus kanns ja nicht sein ..
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| 26.11.2014, 18:50 | dungerbroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Einfach so berechnen und am Ende den Flächeninhalt verdoppelt geht aber auch, kannst du so machen
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| 26.11.2014, 22:16 | Ree | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super! Dann belass ich es für heute dabei. Vielen vielen Dank für die Mühe!!!
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