Konvergenz von Reihen mit geom. Reihe + Majorantenkriterium

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26.11.2014, 15:51	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen mit geom. Reihe + Majorantenkriterium Hallo, wir kommen bei einer Aufgabe nicht weiter. Sie lautet: Es sei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} f(x) := \sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ konvergiert für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\| < 1 \end{eqnarray}$ Unsere Idee ist folgende: Wir wissen, dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty x^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x\| < 1 \end{eqnarray}$ absolut konvergiert. Entsprechend wählen wir $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty x^n \end{eqnarray}$ als Majorate von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n \end{eqnarray}$ . Doch wie zeigen wir, dass $\begin{eqnarray} \|a_nx^n\| \leq \|x^n\| \end{eqnarray}$ ? Wir wissen ja nur, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, was uns nicht wirklich weiterbringt. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
26.11.2014, 16:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen mit geom. Reihe + Majorantenkriterium Das zeigt ihr gar nicht. Wählt einfach $\begin{eqnarray} a_n = 2 \quad\forall n \end{eqnarray}$ . Die grundsätzliche Idee passt, aber eure Majorante ist ein wenig zu klein.
26.11.2014, 16:24	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir $\begin{eqnarray} a_n = 2 \quad\forall n \end{eqnarray}$ wählen, dann definieren wir unsere allgemeine, beschränkte Folge ja nur um zu einer konstanten Folge. Wie soll uns das helfen? Wir fragen uns mittlerweile sowieso, ob wir das Majoranen Kriterium verwenden können, weil nur Konvergenz und nicht unbedingt absolute Konvergenz gezeigt werden soll. Wir stehen grade leider ein wenig auf dem Schlauch. Aber schonmal Danke für deine Hilfe!
26.11.2014, 16:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Beispiel sollte nur zeigen, dass die Abschätzung, die ihr zeigen wollt, einfach falsch ist. Und die Reihe konvergiert absolut...Wie gesagt, die Grundidee ist richtig, aber die Majorante muss etwas verbessert werden.
26.11.2014, 16:58	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das haben wir jetzt verstanden. Aber auf eine passende Majorate kommen wir immer noch nicht, denn wir wissen ja nichts über die Größe von an. Kannst du uns da nicht noch einen kleinen Tipp geben?
26.11.2014, 17:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt denn, dass die Folge a_n beschränkt ist?
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26.11.2014, 17:03	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei uns wurde das folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \exists K\in \mathbb R \forall n\in \mathbb N : a_n \leq K \end{eqnarray}$ Also dass es eine reelle Zahl gibt, die größer ist.
26.11.2014, 17:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen Beträge, denn sonst wäre $\begin{eqnarray} a_n = -n \end{eqnarray}$ beschränkt, was nicht besonders sinnvoll klingt. Nun möchtest du das Majorantenkriterium benutzen, also wolltest du $\begin{eqnarray} \| a_n x^n\| \end{eqnarray}$ abschätzen. Wohin kannst du es denn nur sinnvoll abschätzen?
26.11.2014, 17:10	janiho	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung Stehen aufm Schlauch...
26.11.2014, 17:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr wollt $\begin{eqnarray} \| a_n x^n\| \end{eqnarray}$ abschätzen, und ihr habt eine Abschätzung von $\begin{eqnarray} \|a_n\| \end{eqnarray}$ . Direkter geht es nun leider nicht mehr.

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