1 - Sphäre homöomorph zu (0,1] ?

26.11.2014, 17:47

steviehawk

1 - Sphäre homöomorph zu (0,1] ?

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe gerade folgende Aufgabe bearbeitet:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 \end{eqnarray*}$ darauf sei die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} x= (x_1,x_2) \sim y =(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ definiert durch: $\begin{eqnarray*} x \sim y : \Leftrightarrow x_1 = y_1 \ \ \text{oder} \ \ |x_1|=|y_1|=1 \end{eqnarray*}$

Zu welchen der folgenden Räume ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 / \sim \end{eqnarray*}$ homöomorph?? $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1; \mathbb S^2; \mathbb D^2 ; \mathbb D^1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mir das wieder an einem Bild klar gemacht. Ich habe als Quotietenraum das Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1] \end{eqnarray*}$ bestimmt; durch Anschauung. Die Punkte $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ sind in Relation und sonst eben alle die gleiche erste Koordinate haben. Diese habe ich dann immer mit dem Punkt auf der $\begin{eqnarray*} x - \end{eqnarray*}$ Achse (reelle Achse) identifiziert und so das Intervall erhalten. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ nicht homöomorph zur 1 Sphäre (Kreislinie) ist, auf Grund des Zusammenhangs. Ich kann aus der Kreislinie nur einen Punkte entfernen und es bleibt zusammenhängend. Aus $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ aber zwei.

Aber bei $\begin{eqnarray*} (-1,1] \end{eqnarray*}$ kann ich auch nur ein Punkt entfernen, so dass Zusammenhang erhalten bleibt. (also verhält es sich diesbezüglich wie die 1 Sphäre) Ich vermute daher, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 / \sim \end{eqnarray*}$ homöomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ . Die anderen kann man im Grunde ausschließen.

Wenn ich mir das jetzt vorstelle kann ich mir ja denken, dass ein Stück Schnur, das gleiche ist, wie wenn ich das Stück Zusammenlege, ich darf es aber nich zusammenknoten richtig? Sonst müsste ich es bei der Umkehrung ja zerschneiden, was nicht stetig wäre.. soweit meine Vorstellung smile

Danke für die Hilfe

26.11.2014, 18:11

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

Ich vermute daher, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 / \sim \end{eqnarray*}$ homöomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig. Ob allerdings $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ homöomorph ist zu $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ da wäre ich mir nicht so sicher. Ich finde auch deine Erklärung, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 \end{eqnarray*}$ dazu homöomorph sein soll nicht so schlüssig.

Kennst du folgenden Satz?

Ist $\begin{eqnarray*} f:M\to N \end{eqnarray*}$ eine stetige surjektive Abbildung zwischen kompakten Hausdorffräumen, so ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray*} M / \sim \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray*} x\sim y :\Leftrightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in M \end{eqnarray*}$ .

26.11.2014, 18:51

steviehawk

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Guten Abend, leider ist mir der Satz so jetzt nicht wirklich bekannt. Kompaktheit wurde in der Vorlesung auch noch nicht wirklich behandelt. Am Rande mal erwähnt.

Ich brauche auch keinen Beweis, es geht eher um die Schulung meiner Vorstellung.

Habe ich denn den Quotienteraum $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 / \sim = (-1,1] \end{eqnarray*}$ richtig bestimmt.. Wobei man das ja so wahrscheinlich nicht sagen kann, denn ich habe ja jetzt immer spezielle Repräsentanten gewählt, so dass ich das Intervall erhalte. Ich hätte es genau so gut anders aufschreiben können, wenn ich andere Repräsentanten gewählt hätte.

Über das Ausschlussverfahren hätte ich dann hier die richtige Antwort gefunden, wobei das jetzt nicht gerade der Königsweg ist Big Laugh

26.11.2014, 18:57

Guppi12

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Zitat:

Habe ich denn den Quotienteraum $\begin{eqnarray*} \mathbb D^2 / \sim = (-1,1] \end{eqnarray*}$ richtig bestimmt

Ne, würde ich nicht sagen. Ich habe mir auch zunächst mal anschaulich überlegt, wozu der homöomorph ist und danach erst bewiesen. Und da kam bei mir auch dort schon die $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ heraus.

Gehen wir mal Schritt für Schritt vor: Wenn wir zunächst erstmal nur alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit gleicher $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Koordinate identifizieren, bekommen wir ja einfach $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Aber wenn wir hier jetzt noch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ identifizieren (also quasi zusammenkleben), bekommen wir doch nicht $\begin{eqnarray*} (-1,1] \end{eqnarray*}$ , sondern eine an beiden Enden zusammengeklebte Schnur und das ist gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ .

26.11.2014, 19:02

steviehawk

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Ahhh ja stimmt. Ich habe die Punkte nicht zusammengeklebt, ich habe nur den einen Punkt der in Relation zum anderen war (also (1,0) und (-1,0)) entfernt. Aber ich muss sie zusammenkleben und dann erhalte ich die 1 - Spähre

Danke Gupp12 Freude

26.11.2014, 20:26

Guppi12

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Hab mir gerade noch einmal Gedanken darüber gemacht, ob $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ homöomorph sind. Man kann leicht zeigen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} f:M\to N \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} M\setminus\{x\} \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} M\setminus\{x\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N\setminus\{f(x)\} \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus folgt, dass aus Homöomorphie von $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} (0, 1]\setminus\{\frac 12\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb S^1\setminus \{x\} \end{eqnarray*}$ für geeignets $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb S^1 \end{eqnarray*}$ homöomorph sind, was aus Zusammenhangsgründen nicht sein kann.

Edit: Oder man bemerkt, dass der eine Raum kompakt ist und der andere nicht LOL Hammer

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