Aus a > 0 folgt -a < 0

26.11.2014, 18:20

roby

Aus a > 0 folgt -a < 0

Hey,

meine Aufgabe lautet:
Sei K ein geordneter kommutativer Körper. Zeigen Sie, dass fuer $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in K \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} a > 0 \Rightarrow -a < 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht ich sage, das gilt:

$\begin{eqnarray*} a + (-a) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ das inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist und sich somit der ausdruck $\begin{eqnarray*} -a < 0 \end{eqnarray*}$ negieren lässt und zu $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ wird.

Allerdings bin ich mir super unsicher ob ich das so Überhaupt schreiben darf-kann smile

Gruss

26.11.2014, 18:35

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

was sind denn die Axiome, die ein geordneter Körper erfüllen muss?

26.11.2014, 18:44

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Ich habe als Definition

Ein kommutativer Körper K heisst geordnet, wenn es ein Positivbereich P als Teilmenge $\begin{eqnarray*} P \subset K \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften:

1. Die Menge $\begin{eqnarray*} P, -P:=\left\{ -x:x\in P \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {0} \end{eqnarray*}$ sind disjunkt.
2. $\begin{eqnarray*} K = P \cup (-P) \cup {0} \end{eqnarray*}$
3. Aus $\begin{eqnarray*} x,y \in P \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x+y \in P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x*y \in P \end{eqnarray*}$

26.11.2014, 18:47

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also müssen wir formal eigentlich zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} -x \in -P \end{eqnarray*}$ .

Das kann man hier vielleicht am besten mit einem Widerspruchsbeweis machen.

Was würde denn folgen, wenn $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ist auch in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ?

Edit: die Bezeichnung kommutativer Körper ist übrigens ziemlich ungewöhnlich. Aber gut, daran will ich mich nicht aufhängen.

26.11.2014, 18:51

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde folgen das x und -x positiv also > 0 ist. und somit nichtmehr $\begin{eqnarray*} x + (-x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt ?

26.11.2014, 18:52

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, etwas wirr aufgeschrieben Augenzwinkern

zunächst mal folgt daraus doch, dass $\begin{eqnarray*} x+(-x) \in P \end{eqnarray*}$ bzw. in der anderen Schreibweise $\begin{eqnarray*} x+(-x) > 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Widerspruch, weil ...

26.11.2014, 18:57

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, Ich gebe mir echt mühe das zu verstehen....

da P und -P und {0} disjunkt sind, kann es nicht sein das es $\begin{eqnarray*} ( x + (-x)) \not\in P \end{eqnarray*}$ ?

oder dass
$\begin{eqnarray*} -x \in P \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} -x \not\in -P \end{eqnarray*}$

Oder bin ich jezt wieder komplett daneben?

26.11.2014, 19:01

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast, da ist das Elementzeichen zu viel durchgestrichen. Wir haben ja jetzt nachgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} (x+(-x))\in P \end{eqnarray*}$ gilt. Was ist aber $\begin{eqnarray*} x+(-x) \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2014, 19:03

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Definition 0. und $\begin{eqnarray*} 0 \not\in P \end{eqnarray*}$

26.11.2014, 19:04

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig

Nachtrag: Mir ist gerade noch etwas aufgefallen.

Wir haben also jetzt aus $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ geschlossen, dass dann nicht $\begin{eqnarray*} -x \in P \end{eqnarray*}$ gelten kann. Damit daraus $\begin{eqnarray*} -x \in -P \end{eqnarray*}$ folgt, muss natürlich noch $\begin{eqnarray*} -x = 0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden. Das ist aber ja dann auch nicht mehr weit Augenzwinkern

26.11.2014, 19:06

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

HarrHarr

Allerdings ist mir nicht klar, warum wir nun gezeigt haben, warum P > -P ist :-/

26.11.2014, 19:10

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das haben wir doch garnicht gezeigt.

Wir haben aus $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ) geschlossen, dass dann $\begin{eqnarray*} -x \in P \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} -x > 0 \end{eqnarray*}$ ) falsch sein muss. Wenn jetzt aber auch $\begin{eqnarray*} -x \neq 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt werden kann, so muss doch $\begin{eqnarray*} -x \in -P \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} -x < 0 \end{eqnarray*}$ ) gelten, was zu zeigen war. Denn $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ muss ja in einer der Mengen $\begin{eqnarray*} P,-P,\{0\} \end{eqnarray*}$ liegen. Und wenn es in zweien davon nicht liegt, muss es in der dritten liegen.

26.11.2014, 19:41

roby

Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht es, wenn ich Formal Schreibe:

Nach Definition von kommutativen Körpern 4.3
Da P, -P und {0} disjunkt sind folgt

$\begin{eqnarray*} a \in P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+(-a) = 0 \Rightarrow a+(-a) \not\in P\cup-P \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} -a \not\in P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -a \not\in {0} \Rightarrow -a \in -P \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -a < 0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

26.11.2014, 19:50

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ok. Es liest sich aber einfacher, wenn du die Folgerungen etwas begründest, etwa so:

Erste Zeile ist ok. Danach dann vielleicht
Aus $\begin{eqnarray*} a+(-a)\notin P \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} -a \notin P \end{eqnarray*}$ (Kontraposition eines Teils der Definition 4.3)

Außerdem $\begin{eqnarray*} -a \notin \{0\} \end{eqnarray*}$ (das wäre evt. noch zu begründen, wirst du aber besser wissen, ob du es voraussetzen kannst).

Aus beiden zusammen folgt dann $\begin{eqnarray*} -a \in -P \end{eqnarray*}$ .

Der Teil

Zitat:

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} -a \not\in P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -a \not\in {0} \Rightarrow -a \in -P \end{eqnarray*}$

liest sich sonst so, als würde $\begin{eqnarray*} -a \notin\{0\} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} a+(-a)\notin P\cup -P \end{eqnarray*}$ folgen, was es ja nicht tut.

Edit: Moment, muss mich bei dir entschuldigen. Mir ist nicht aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} -P \end{eqnarray*}$ ja konkret definiert war und nicht irgendeine Menge mit speziellen Eigenschaften ist.

So, wie es da steht, sehe ich auch nichts, was dagegen spricht zu sagen, dass, weil $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ , nach Definition von $\begin{eqnarray*} -P \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -x \in -P \end{eqnarray*}$ gilt. Es sei denn, ihr habt $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ anders definiert als $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x\in -P \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Aus a > 0 folgt -a < 0

Verwandte Themen