Bestimmte Divergenz für monotone Folgen

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26.11.2014, 18:58	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmte Divergenz für monotone Folgen Meine Frage: Hy, also ich komme bei einem Beweis nicht weiter, obwohl der sehr einfach sein müsste, und zwar handelt es sich um die Aussage: Eine nicht beschränkte monotone Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ (wenn monoton wachsend) bzw. gegen $\begin{eqnarray} - \infty \end{eqnarray}$ (wenn monoton fallend). Meine Ideen: Für den Fall monoton wachsend: (der andere Fall wäre ja analog dazu) Wir haben ja die Definition von bestimmter Divergenz, d.h: $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N \forall n\geq N : a_{n} > K \end{eqnarray}$ und wir wissen die folge ist monoton steigend also: $\begin{eqnarray} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Außerdem ist sie nich beschränkt(nach oben) d.h: $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N \forall n\geq N : a_{n} > K \end{eqnarray}$ , ist dass in Quantorenschreibweise richtig? Hab dass einfach aus der Definition, eine Folge ist nach oben beschränkt, d.h $\begin{eqnarray} \exists K \in \mathbb R : a_{n} \leq K \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ umgeformt. So, eigentlich ist es ja wirklich einfach, denn wenn $\begin{eqnarray} a_{n} > K \end{eqnarray}$ , dann ja erst recht $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist nun, ich weiß nicht wie ich das sauber aufschreibe, so dass es ein Beweis ist. Wäre nett wenn da jemand anregungen geben könnte. PS: Bin neu hier und das ist mein erster Beitrag ^^. Gruß
26.11.2014, 19:19	person	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmte Divergenz für monotone Folgen Die Verneinung von der Beschränktheit ist nicht ganz korrekt. Was du aufgeschrieben hast wäre ja schon was du zeigen sollst. Oder wolltest du das jetzt schon mit der Monotonie verbinden? In dem Fall würde ich dir raten es lieber Schritt für Schritt zu machen.
26.11.2014, 19:27	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmte Divergenz für monotone Folgen Nein, du hast recht, dass ist mir auch aufgefallen nachdem ich die Frage gestellt habe. Wäre es denn so korrekt? $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N : a_{n} >K \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, hast du dann auch nen Tipp wie ich weiter machen kann?
26.11.2014, 19:46	person	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmte Divergenz für monotone Folgen Ja, so sieht es gut aus Du hast dir ja schon hingeschrieben was du zeigen willst: $\begin{eqnarray} \forall K\in \mathbb{R} \exists N \in \mathbb{N} \forall n>N : a_n >K \end{eqnarray}$ Also fängst du an mit einem beliebigen $\begin{eqnarray} K\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ an und musst zeigen, dass es so ein N gibt. Dazu nutzt du die unbeschränktheit und die Monotonie. Hast du eine Idee wie? Wenn du so ein K hast, was folgt dann aus der Unbeschränktheit..?
26.11.2014, 19:54	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich ein beliebiges K hätte, dann würde aus der Unbeschränktheit folgen, dass dieses K keine obere Schranke ist, weil ab einem bestimmten N wieder alle Folgeglieder darüber liegen.
26.11.2014, 20:05	person	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Das mit der oberen Schranke ist richtig, aber das heißt (erstmal) nur, dass es EIN n gibt sodass a_n größer als K ist. (Siehe deinen zweiten post) Du hast jetzt also zu einem belibigen K ein a_n mit a_n>K, was bleibt noch zu zeigen?
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26.11.2014, 20:39	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also sozusagen haben wir jetzt: Aus der Unbeschränktheit folgt: $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N : a_{n} >K \end{eqnarray}$ , dann müsste man noch zeigen dass das auch $\begin{eqnarray} \forall n \geq N \end{eqnarray}$ gilt, oder?
26.11.2014, 20:43	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da käme dann ja sicher die Monotonie ins spiel.
26.11.2014, 21:24	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgt dann etwa aus der Monotonie, dass wenn ein N existiert sodass $\begin{eqnarray} a_{n} >K \end{eqnarray}$ auch auf jeden Fall $\begin{eqnarray} a_{n+1}>K \end{eqnarray}$ ? Und daraus folgt wieder dass $\begin{eqnarray} a_{n} >K \forall n\geq N \end{eqnarray}$ gelten muss?
26.11.2014, 23:09	Person	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sehr gut! Genau so würde ich es auch machen. Müsste stimmen.
27.11.2014, 10:34	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super, ich werde heute erfahren ob es stimmt und dann hier nochmal vermerken. Vielen Dank!
27.11.2014, 18:54	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es war richtig so! Hier nochmal der Beweis: $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ist unbeschränkt, daraus folgt: $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N : a_{N}>K \end{eqnarray}$ , wie richtig erwähnt bedeutet dass aber nur das es schonmal ein $\begin{eqnarray} a_{N} \end{eqnarray}$ gibt für dass das gilt. Zu zeigen ist aber dass es für alle gilt . Aus der Monotonie folgt: $\begin{eqnarray} \forall n\geq N :a_{n} \geq a_{N} \geq K \end{eqnarray}$ . Hieraus folgt jetzt die Behauptung $\begin{eqnarray} \forall K \in \mathbb R \exists N\in \mathbb N \forall n\geq N: a_{n} > K \end{eqnarray}$ qed.

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