Bedingte Summe von Zufallsvariablen Poisson verteilt

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BenToasty Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Summe von Zufallsvariablen Poisson verteilt
Meine Frage:
Hallo smile Ich hänge momentan bei einer Aufgabe zu Zufallsvariablen fest, ich hoffe mir kann jemand helfen.
Sei für alle
und sei ein Zufallsvektor mit unabhängigen Koordinaten, sodass . Zeigen Sie, dass gilt, falls
Hinweis: Eine Möglichkeit die Aussage zu beweisen, ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit auf für gewisse anzuwenden. Sie dürfen hierbei ohne Beweis annehmen, dass die Formel der totalen Wahrschienlichkeit auch anwendbar ist, wenn ein abzählbares und disjunktes System von Mengen lediglich und nicht zwingend erfüllt.


Meine Ideen:
Zuerst habe ich leider ein Verständnisproblem mit der oberen Grenze der Summe, die ja eine Zufallsvariable ist. Dabei ist der letzte Index ja eigentlich der Wert von , dieser ist aber parallel wieder von den Omegas abhängig, über die die Wahrscheinlichkeit gebildet wird. Es ist auch auffällig dass exp(..exp(...)) gebildet wird. Dies sah für mich danach aus, dass eine Zufallsvariable in einer anderen Poisson verteil ist. Ich habe dann zwei Ansätze gehabt. Zunächst wollte ich ohne den Hinweis die Aussage direkt zeigen, indem ich genutzt habe dass die Summe von Poisson-verteilten Zufallsvariablen wieder Poisson verteil ist, komme dabei aber nicht auf die Lösung. Mit dem Hinweis bin ich leider auch nicht weiter gekommen. Ich habe versucht zu konstruieren, bin dann aber nicht in die Nähe des Ergebnisses gekommen.
Vielen Dank schonmal smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hinweis auf die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ist hier so gemeint: Es ist



Gleichheit wäre natürlich noch zu begründen. Für unser hier ist die zuletzt stehende Reihe dann zügig ausrechenbar.

Zitat:
Original von BenToasty
Sei für alle
und sei ein Zufallsvektor mit unabhängigen Koordinaten

Das ist an sich nicht ausreichend: Wir brauchen hier unendlich viele Zufallsgrößen, also

,

ansonsten wäre die Zufallsgröße nicht für alle (nicht mal für "fast alle" !!!) definiert. unglücklich
 
 
Ben Toasty Auf diesen Beitrag antworten »

Hi HAL 9000,
vielen Dank schonmal für deine Antwort. Den Hinweis mit der totalen Wahrscheinlichkeit habe ich jetzt besser verstanden. Die Gleichheit die du angesprochen hast folgt aus der Eigenschaft dass die Zufallsvariablen unabhängig sind oder?
Ich werde den Übungsleiter dann nochmal auf die Anzahl der Zufallsvariablen ansprechen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Toasty
Die Gleichheit die du angesprochen hast folgt aus der Eigenschaft dass die Zufallsvariablen unabhängig sind oder?

Ja: Aus der Gesamt-Unabhängigkeit folgt die Unabhängigkeit der Sigma-Algebren und , und bezüglich letzterer ist ja messbar, also ist diese Zufallsgröße von unabhängig.
Ben Toasty Auf diesen Beitrag antworten »

super ! Vielen Dank smile Habs kapiert denke ich smile
Ben Toasty Auf diesen Beitrag antworten »

Das Auflösen der Summe bereitet mir irgendwie trotzdem noch Probleme unglücklich unglücklich unglücklich .
Ich habe bisher:
Hat noch jemand ein Hinweis für mich? unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr seltsam, wie du die Konstante (!!!) summierst. unglücklich
Ben Toasty Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1 Finger1 Finger1 Jetzt passt es. Vielen dank für die schnelle Hilfe.
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