Funktionsschar

18.08.2004, 14:17

Gast

Funktionsschar

Hallo!

Wie bestimme ich die Ortskurve der Tiefpunkte aller Scharkurven?
Und wie weise ich nach, dass jede Scharkurve punktsymetrisch ist?

18.08.2004, 14:54

Philipp-ER

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Hi.
Berechne doch erstmal die Koordinaten der Tiefpunkte in Abhängigkeit von c (gehe dabei einfach so vor, wie du es immer machst, also 1. Ableitung nullsetzen usw, lass' dich nicht von dem c stören). Dann sehen wir weiter.

Zu 2)
Kennst du die Gleichung, mit der man nachweist, dass das Schaubild einer Funktion punktsymetrisch zu einem Punkt mit den Koordinaten (x0|y0) ist? Müsstet ihr gemacht haben. Stelle also auf Basis des Schaubildes einer konkreten Funktion (also zum Beispiel für c=1) eine Vermutung für die Koordinaten des Symetriepunktes auf (alle Kurven der Schar haben einen gemeinsamen, soweit ich das sehe) und zeige dann, dass deine Vermutung stimmt, indem du eben diese Gleichung verwendest.

Kommst du jetzt weiter?
Gruß
Philipp

18.08.2004, 15:25

Gast

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Hi.
Berechne doch erstmal die Koordinaten der Tiefpunkte in Abhängigkeit von c (gehe dabei einfach so vor, wie du es immer machst, also 1. Ableitung nullsetzen usw, lass' dich nicht von dem c stören). Dann sehen wir weiter.

Ja hab ich schon:

Also Nullstellen bei $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{4-c} \end{eqnarray*}$
Tiefpunkte bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{c} - 2 \end{eqnarray*}$
Hochpunkte bei $\begin{eqnarray*} - \sqrt{c} - 2 \end{eqnarray*}$

18.08.2004, 15:27

Gast

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Zu 2)
Kennst du die Gleichung, mit der man nachweist, dass das Schaubild einer Funktion punktsymetrisch zu einem Punkt mit den Koordinaten (x0|y0) ist? Müsstet ihr gemacht haben. Stelle also auf Basis des Schaubildes einer konkreten Funktion (also zum Beispiel für c=1) eine Vermutung für die Koordinaten des Symetriepunktes auf (alle Kurven der Schar haben einen gemeinsamen, soweit ich das sehe) und zeige dann, dass deine Vermutung stimmt, indem du eben diese Gleichung verwendest.

Das einzigste was wir mal gemacht haben war für x -x einsetzen und schauen, ob die Funktion sich verändert, gleichbleibt oder nur ein vorzeichenwechsel stattfindet. Das haben wir aber nur mit ganzratinalen Funktionen gemacht.

18.08.2004, 15:59

Philipp-ER

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Die x-Koordinate des Tiefpunktes stimmt. Zusätzlich benötigst du die y-Koordinate, also den Funktionswert an der Stelle.
Dieser lautet $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{c}-4 \end{eqnarray*}$ , wie du leicht überprüfst.
Man hat also
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{c}-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2\sqrt{c}-4 \end{eqnarray*}$
Eliminiere jetzt den Paramter c, indem du die 1. Gleichung nach c auflöst und das Ergebnis in die 2. Gleichung einsetzt. Du erhältst die Gleichung der Ortskurve, wobei noch anzugeben ist, welche Werte x annehmen darf, damit ist die Aufgabe gelöst.

Zu 2)
Das mit f(x)=-f(-x) funktioniert nur bei Symetrie zum Ursprung.
Allgemein:
Das Schaubild der Funktion $\begin{eqnarray*} f:x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ ist Symetrisch zum Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ , wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)+f(x_0-h)=2 y_0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h\in\mathbb{R}\mbox{ mit }x_0+h \in D_f \end{eqnarray*}$ (der Definitionsbereich muss sowieso symetrisch zu $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sein, damit kommt hier schon nur eine x-Koordinate für den Symetriepunkt in Frage, die y-Koordinate kannst du entweder erraten oder mit der Gleichung errechnen).
Welche Vermutung hast du für den Symetriepunkt?
Beweise sie mit dieser Gleichung.

18.08.2004, 19:18

Gast

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Ich vermute als Symetrie Punhkt (-2;-4). Das hab ich jetzt aber grafisch abgelesen Augenzwinkern

Was soll ich für h einsetzten? Oder lässt sich h wegkürzen? Oder soll ich ersteinmal raten und für y die geratene Zahl einsetzten und nach h auflösen?

18.08.2004, 19:23

Gast

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Die x-Koordinate des Tiefpunktes stimmt. Zusätzlich benötigst du die y-Koordinate, also den Funktionswert an der Stelle.
Dieser lautet $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{c}-4 \end{eqnarray*}$ , wie du leicht überprüfst.
Man hat also
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{c}-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2\sqrt{c}-4 \end{eqnarray*}$
Eliminiere jetzt den Paramter c, indem du die 1. Gleichung nach c auflöst und das Ergebnis in die 2. Gleichung einsetzt. Du erhältst die Gleichung der Ortskurve, wobei noch anzugeben ist, welche Werte x annehmen darf, damit ist die Aufgabe gelöst.

wenn ich das mache bekomme ich y=2x raus. ist das richtig? also ist das die gerade auf der alle tiefpunkte liegen?

18.08.2004, 19:48

Philipp-ER

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Die Gerade ist richtig, allerdings wird nicht die ganze Gerade von Tiefpunkten überstrichen.
Du musst aus
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{c}-2 \end{eqnarray*}$ noch ablesen, welche x-Werte überhaupt in Frage kommen, das ist aber nicht schwer und damit ist die Aufgabe dann fertig.

Deine Vermutung zur Symetrie ist richtig (ablesen ist schon ok, solange du es danach beweist).
h darf eine beliebige reelle Zahl sein, es muss sich also rauskürzen, wenn du den Punkt richtig gewählt hast.
Rechne also mit einer beliebigen reellen Zahl h ungleich 0 den Term
$\begin{eqnarray*} f(-2+h)+f(-2-h) \end{eqnarray*}$ , du musst gerade -8, also das Doppelte der vermuteten y-Koordinate erhalten, was auch der Fall sein wird.

18.08.2004, 21:04

Gast

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Also x muss größer als -2 sein, da -2 eine polstelle ist und die tiefpunkte nur bei x>-2 anfangen
oder?
wie beweise ich das mathematisch?

18.08.2004, 21:06

Gast

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was ist h denn? warum darf h jede beliebige reele zahl ungleich 0 sein?
wozu das h?

18.08.2004, 21:20

Philipp-ER

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Es gilt ja
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{c}-2 \end{eqnarray*}$
Nach Voraussetzung gilt:
$\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$
Damit sofort:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{c}>0 \end{eqnarray*}$
und damit natürlich
$\begin{eqnarray*} \sqrt{c}-2>-2 \end{eqnarray*}$
womit die Aussage für x problemlos gezeigt ist.

Mach' dir mal klar, was die Aussage mit dem h absolut anschaulich und ohne mathematische Präzision bedeutet:
Wenn ich auf dem Graphen von f vom Symmetriezentrum ein beliebiges Stück nach rechts gehe (das ist das h; h darf eine beliebige Zahl sein, da ich beliebig nach rechts gehen kann), dann ist der y-Wert an dieser Stelle gerade soweit über bzw unter dem y-Wert des Symmetriepunktes, wie er unter bzw über diesem y-Wert ist, wenn ich nach links gegangen wäre. Zeichne dir das mal auf, dann wird auch die Gleichung anschaulich klar.

18.08.2004, 21:25

Gast

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Hey danke nochmal für die ganzen Antworten und für die Hilfe!!

Ich denke ich habe die Aufgabe jetzt ganz fertig und richtig, da waren nämlich noch ein paar Fragen mehr, aber die konnte ich selbstständig lösen smile

18.08.2004, 21:33

Philipp-ER

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Freut mich, gern geschehen.

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