Induktion n = 2k1 + 3k2

27.11.2014, 16:17

roby

Induktion n = 2*k1 + 3*k2

Hey,
Ich habe folgende Aufgabe bekommen :

Beweisen Sie, dass sich jede positive ganze Zahl n >= 5 als eine Summe der Form n = 2k1 + 3k2 darstellen laesst, wobei k1 und k2 nicht-negative ganze Zahlen sind.

Das ganze muss ich doch sicher mit der Vollständigen Induktion zeigen oder ?

IA:
$\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{1}=1, k_{2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 = 2*k_{1} + 3*k_{2} = 5 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob ich einfach $\begin{eqnarray*} k_{1}, k_{2} \end{eqnarray*}$ belegen darf.
Im IS muss ich doch nun zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$ .

Leider ist mir weiter nicht ganz klar, wie ich das machen soll ? :-/

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, zweiten Beitrag gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

27.11.2014, 21:07

danooh

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Ich würde es mit einer Fallunterscheidung probieren:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist gerade

2. Fall: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ungerade

Wie wählst du $\begin{eqnarray*} k_{1}, k_{2} \end{eqnarray*}$ im ersten Fall?

2. Fall: Zerlege dein ungerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in einen geraden Teil und den Rest

28.11.2014, 09:11

roby

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Hey, danke fuer die Antwort

das habe ich mir auch ueberlegt gehabt, allerdings ist der 2. Fall nicht so einfach:

1. Fall $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist gerade
$\begin{eqnarray*} k_{1}=\frac n 2, k_{2}=0 \end{eqnarray*}$

dann waere der IA:
$\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6 = 2\frac 6 2 + 3*0 = 6 \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ungerade
$\begin{eqnarray*} n=2x +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{1}=x-1, k_{2}=1 \end{eqnarray*}$

IA:
$\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 = 2*(2-1) + 3*1 = 5 \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt ? kommt mir sehr komisch vor ^^

28.11.2014, 10:13

Guppi12

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warum beharrst du so auf deiner Induktion ?

Zitat:

1. Fall $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist gerade $\begin{eqnarray*} k_{1}=\frac n 2, k_{2}=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

2. Fall $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ungerade $\begin{eqnarray*} n=2x +1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k_{1}=x-1, k_{2}=1 \end{eqnarray*}$

Damit bist du doch fertig verwirrt