Oberflächenintegral berechnen

27.11.2014, 16:20

macman2010

Oberflächenintegral berechnen

Hi,

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_g...henintegral.pdf

Verstehe ja den Ansatz der Vorgehensweise hier mit den Projizierten Flächen.
Es gibt aber auch Beispiele, die nicht so einfach zu berechnen sind wie das untere.

Ich mache mal ein Beispiel.

$\begin{eqnarray*} f\left( x,y,z \right)=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

In diesem Vektorfeld, liegt eine schiefe Ebene, die eine Projektion auf die xy-Ebene und auf die xz-Ebene wirft.

Der Fluss, der durch die xy-Ebene geht, zeigt ja in z Richtung. Der durch die xz-Ebene in y Richtung.

Konkrete Werte für die Projizierten Seiten der Projizierten Flächen auf der xy_ ebene sind x von 1...3 und y von 4...8

auf der xz ist x 1...3 und z 1...4

$\begin{eqnarray*} \Phi =\int_{1}^{3}{\int_{4}^{8}{z\; dy\; dx\; +\; \int_{1}^{3}{\int_{1}^{4}{y\; dx\; dz\; =\; z\cdot 8+y\cdot 6}}}} \end{eqnarray*}$

wie man sieht, sind jetzt immer noch die Variablen z und y vorhanden. Wie löse ich das jetzt?

Projeziert man nicht auf die Koordinatenachsen sondern auf einen Quader, in dem die Fläche genau drinnen liegt und Projeziert darauf?

Bsp. Schiefe Ebene, fängt bei z=1 an und endet auf z=4. Sie läuft von Links unten nach rechts oben. mit y 4...8

Könnte ich dann jetzt sagen z ist um 1 nach oben Verschoben. Und y um 8?

Weil wenn ich über die nach um 8 nach rechts verschobene xz-Ebene Integriere und über di nach 1 nach oben verschobene xy-Ebene in den entsprechenden Grenzen, dürfte doch genau die Schiefe Ebene Beschrieben sein und damit auch der Fluss dadurch.

$\begin{eqnarray*} \Phi =\int_{1}^{3}{\int_{4}^{8}{z\; dy\; dx\; +\; \int_{1}^{3}{\int_{1}^{4}{y\; dx\; dz\; =\; z\cdot 8+y\cdot 6}}}}=\; 1\cdot 8+8\cdot 6\; =\; 56 \end{eqnarray*}$

Wann ist eine Fläche nicht Projezierbar?
Denn auch in der Bedingung des Gaußschen Integralsatzes, muss die Fläche ja Projezierbar sein.

Danke Schonmal

Mfg

27.11.2014, 22:16

Rabbi

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RE: Oberflächenintegral berechnen.

Zitat:

...

$\begin{eqnarray*} \Phi =\int_{1}^{3}{\int_{4}^{8}{z\; dy\; dx\; +\; \int_{1}^{3}{\int_{1}^{4}{y\; dx\; dz\; =\; z\cdot 8+y\cdot 6}}}} \end{eqnarray*}$

wie man sieht, sind jetzt immer noch die Variablen z und y vorhanden. Wie löse ich das jetzt?

...

Überhaupt nicht bzw. das ist die Lösung für das gegebene (ausgesuchte) Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} \vec f=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wink

19.12.2014, 17:10

macman2010

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Und was mache ich jetzt mit den übrig gebliebenen Variablen? Ich brauche etwas Kontext??

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Oberflächenintegral berechnen

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