Abbildung beliebiger Hexaeder auf Würfel |
| 28.11.2014, 10:46 | jetrock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abbildung beliebiger Hexaeder auf Würfel Als Ingenieur komme ich eher von der Anwenderseite, also bitte Nachsicht. Hier mein Problem: -------------------- Ich habe einen Hexaeder, definiert durch die Raumkoordinaten x,y,z seiner 8 Eckpunkte sowie durch eine definierte Reihenfolge der Knoten. Dieser Hexader kann beliebig geformt sein (solange sich Kanten und Flächen nicht schneiden). Nehmen wir weiter an ich habe einen Würfel der Kantenlänge 2, definiert in einem Koordinatensystem mit Ursprung in der Würfelmitte. Die Ecken des Würfels haben also die Koordinaten (-1,-1,-1),(-1,-1,1),...,(1,1,1). Für jeden Punkt des Hexaeders möchte ich jetzt den entsprechenden Punkt auf dem Würfel bestimmen (NICHT andersherum). Man kann sich vorstellen ein Foto pixelweise von einer Hexaederseite auf eine Würfelseite übertragen zu wollen (nicht umgekehrt). Zu einem späteren Zeitpunkt muss ich das auch für Tetraeder machen. Statt des Hexaeders habe ich denn einen beliebigen Tetraeder, statt des Würfels einen gleichseitigen Tetraeder. ------------------------ Wie macht man sowas? Da kann ich ja nicht der erste sein. Gibts das fertig als Codeschnipsel? Ich weiß nicht mal, nach welchen Schlagwörtern ich suchen soll. Im Bereich der FEM gibt es das Prinzip der isoparametrischen Elemente, die genau das machen (über sog. Formfunktionen), allerdings nur in die ANDERE Richtung (also Würfelkoord -> Raumkoord. Hexaeder). Danke für Tipps J. |
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| 28.11.2014, 11:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Er soll aber schon noch dem Würfel topologisch gleich sein, oder? Schließlich sprichst du ja von 8 Eckpunkten. An sich bedeutet "Hexaeder" ja nur "Sechsflächner", und da sind ja auch noch ganz andere Polyederformen denkbar.
Du sprichst so, als wäre klar und eindeutig, welche Abbildung zwischen den beiden Körperoberflächen da gemeint ist. Das sehe ich überhaupt noch nicht so. 
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| 28.11.2014, 11:37 | jetrock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, das hatte ich befürchtet ;-) topologisch gleich. genau! danke. Die Abbildung soll .. ähh .. linear? sein. Ecke auf Ecke. Auf beiden Körpern sollen sich entsprechende Punkte Strecken im gleichen Verhältnis teilen. Geraden bleiben Geraden. Klar was ich meine? J. |
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| 28.11.2014, 14:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das erfordert eine lineare Abbildung der einen Viereckfläche in die Quadratfläche. Bei Dreieck->Dreieck funktioniert das, beim Viereck i.a. nicht: Ein Parallelogramm bleibt unter einer linearen Abbildung ein Parallelogramm! Zwischen einem Nicht-Parallelogramm und dem Quadrat wie bei dir hier gibt es also eine solche lineare Abbildung nicht. Du musst dir überlegen, was in den gegebenen Rahmenbedingungen überhaupt machbar ist. Stetigkeit kommt noch hin - alles was darüber hinausgeht, wird schon schwieriger (wie hier bei der Linearität gesehen). |
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| 28.11.2014, 15:40 | jetrock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, machen wir es konkreter: Ein beliebiges Viereck hat die Eckkoordinaten x_i und y_i. Mein Normquadrat mit Kantenlänge 2 hat die Koordinaten r_i und s_i und den Koordinatenursprung im Mittelpunkt. Also: (-1,-1), (-1,1), (1,1) und (1,-1) Mit: und der analogen Gleichung für y(r,s) kann ich für jeden Punkt (r,s) des Normquadrates den Bild?punkt im Viereck bestimmen. Ist das keine lineare Abbildung? Ich müsste halt nur in die andere Richtung, also r(x,y) und s(x,y). Und in 3D. Und in einem nicht rechtwinkligen Ko-sys für den Tetraeder. :-) J. |
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| 28.11.2014, 15:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
I.a. nicht: Eine lineare Abbildung hätte die Struktur mit irgendwelchen Vektoren . Bei dir ist es aber , und dieses letzte -Glied macht die Sache nichtlinear. Nur im genannten Parallelogrammfall ist , was zu führt, und damit Linearität. |
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| 28.11.2014, 16:01 | jetrock | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Chakka! Cool erklärt. Aber mein Problem löst das nicht. Also was muss ich lernen, damit ich weiterkomme? Nichtlineare Abbildungen in R3? In welchem Gebiet könnte sowas noch zur Anwendung kommen? J. |
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