Addition von reellen Unterräumen wieder Unterraum

28.11.2014, 10:33	neuerNutzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von reellen Unterräumen wieder Unterraum Meine Frage: Guten Vormittag. Heute habe ich mal eine Frage der Kategorie "ist das richtig" : Es soll gezeigt werden, dass die Addition $\begin{eqnarray} \left\{ u_{1} + u_{2} \| u_{1} \in U_{1} \wedge u_{2} \in U_{2} \right\} \end{eqnarray}$ zweier reeleer Unterräume $\begin{eqnarray} V \supseteq U_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \supseteq U_{2} \end{eqnarray}$ wieder Unterraum von V ist. Meine Ideen: Ich habe die 3 Bedingungen eines Unterraums geprüft: 1) z.Z.: $\begin{eqnarray} \left\{ u_{1} + u_{2} \| u_{1} \in U_{1} \wedge u_{2} \in U_{2}\right\} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_{1} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ (da Unterraum) $\begin{eqnarray} U_{2} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ (da Unterraum) $\begin{eqnarray} \Rightarrow U_{1} + U_{2} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ 2) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall \vec{u}, \vec{w} \in U_{1+2} : (\vec{v} + \vec{w}) \in U_{1+2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{u_{11}}, \vec{u_{12}} \in U_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{u_{21}}, \vec{u_{22}}\in U_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{u_{11}}+\vec{u_{21}}) + (\vec{u_{12}}+\vec{u_{22}}) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\vec{u_{11}} + \vec{u_{12}})+(\vec{u_{21}} + \vec{u_{22}}) \in U_{1+2} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} (\vec{u_{11}} + \vec{u_{12}}) \in U_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\vec{u_{21}} + \vec{u_{22}}) \in U_{2} \end{eqnarray}$ 3) z.Z.: $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \wedge u \in \left\{ u_{1} + u_{2} \| u_{1} \in U_{1} \wedge u_{2} \in U_{2} \right\} \Rightarrow \lambda u \in \left\{ u_{1} + u_{2} \| u_{1} \in U_{1} \wedge u_{2} \in U_{2} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda (u_{1} + u_{2}) = \lambda u_{1} + \lambda u_{2} \in \left\{ u_{1} + u_{2} \| u_{1} \in U_{1} \wedge u_{2} \in U_{2} \right\} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \lambda u_{1} \in U_{1} \wedge \lambda u_{2} \in U_{2} \end{eqnarray}$ Ist das a) richtig und b) hinreichend als Beweis ?
28.11.2014, 10:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1) kann man noch etwas konkreter machen. Da der Nullvektor in jedem Untervektorraum enthalten ist, gilt $\begin{eqnarray} 0=0+0\in U_1+U_2 \end{eqnarray}$ Bei 2) musst du $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ schreiben statt $\begin{eqnarray} U_{1+2} \end{eqnarray}$ Beweis ist korrekt. Gilt offensichtlich nicht nur für reelle sondern für beliebige Vektorräume.

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