Ableitungsregel mittels Induktion beweisen

28.11.2014, 11:08	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungsregel mittels Induktion beweisen Hallo folgende Bsp. hab ich diese Woche zu lösen, ich fange zuerst mit 72) was ich bis jetzt habe: $\begin{eqnarray} f=f_{1} \cdot f_{2} \cdot f_{3} \cdot...\cdot f_{n-1} \cdot f_{n} =\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'=f \cdot\sum\limits_{i=1}^n \frac{f'_{i} }{f_{i} } =\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot\sum\limits_{i=1}^n \frac{f'_{i} }{f_{i} } \end{eqnarray}$ Ich glaub die Frage ist: $\begin{eqnarray} (\prod \limits_{i=1}^n f_{i})'=\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot\sum\limits_{i=1}^n \frac{f'_{i} }{f_{i} } \end{eqnarray}$ für alle n in der Menge der natürlichen Zahlen Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} A(1): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{1}=f_{1}\cdot \frac{f'_{1} }{f_{1} } \end{eqnarray}$ wahre Aussage: Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} A(n)\Rightarrow A(n+1): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\prod \limits_{i=1}^{n+1} f_{i})'=\prod \limits_{i=1}^{n+1} f_{i} \cdot\sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{f'_{i} }{f_{i} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1} )'=\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1} \cdot(\sum\limits_{i=1}^n \frac{f'_{i} }{f_{i}} }+{\frac{f_{n+1}' }{f_{n+1} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1}'+(\prod \limits_{i=1}^n f_{i})' \cdot f_{n+1} =\prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1} \cdot \sum\limits_{i=1}^n \frac{f'_{i} }{f_{i}} }+ \prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1} {\frac{f_{n+1}' }{f_{n+1} } \end{eqnarray}$ Induktionsannahme: $\begin{eqnarray} \prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1}'+(\prod \limits_{i=1}^n f_{i})' \cdot f_{n+1} = f_{n+1} \cdot (\prod \limits_{i=1}^n f_{i})' }+ \prod \limits_{i=1}^n f_{i} \cdot f_{n+1}' {\frac{ }{ } \end{eqnarray}$ Wahre Aussage. Kann man das so machen oder ist das falsch? Aufgabe 73) $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^n (x-\alpha_{i} ) \end{eqnarray}$ Linearfaktoren haben stets reelle Nullstellen: Die Produktreihe kann auch als Polynom dargstellt werden, da jedes Polynom eindeutig (bis auf ihre Faktoren) zerlegbar ist. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n a_{i} \cdot x^{i} \end{eqnarray}$ Besitzt also n NST: Ableitung: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=0}^n a_{i} \cdot x^{i} )'=\sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot i\cdot x^{i-1} \end{eqnarray}$ Ableitung besitzt n-1 NST. Stimmt das? [attach]36232[/attach]

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