ln stetig

28.11.2014, 15:14

neuling....

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ln stetig

Man soll beweisen, dass ln stetig ist.

Sei x,x0 > 0
mit abs (x-x0)<delta -> abs((x/y)-1)<delta*x0

abs(ln(x)-ln(x0)=abs(ln(x/y))=abs(ln((x/y)-1)+1))<ln(delta*x0+1)

wähle delta:=(e^(epsilon)/x0)-1

->abs(ln(x)-ln(x0)<epsilon

Für alle epsilon existiert ein delta so dass abs(ln(x)-ln(x0))<epsilon ist also ist ln stetig!

28.11.2014, 15:34

IfindU

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RE: ln stetig
Mir ist extrem unklar was das y ist. Offenbar ist es das gleiche wie x_0, aber dann ist schon
" abs (x-x0)<delta -> abs((x/y)-1)<delta*x0 "
das falsch.

Desweiteren warum sollte dein delta größer als 0 sein? Für viele Werte von Epsilon und x_0 steht da einfach etwas negatives.

Ich würde einfach mit der lokalen Lipschitzstetigkeit von exp argumentieren, damit sollte es ziemlich flott gehen.

28.11.2014, 15:46

neuling....

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RE: ln stetig

Zitat:

Original von IfindU
Mir ist extrem unklar was das y ist. Offenbar ist es das gleiche wie x_0, aber dann ist schon
" abs (x-x0)<delta -> abs((x/y)-1)<delta*x0 "
das falsch.

Desweiteren warum sollte dein delta größer als 0 sein? Für viele Werte von Epsilon und x_0 steht da einfach etwas negatives.

Ich würde einfach mit der lokalen Lipschitzstetigkeit von exp argumentieren, damit sollte es ziemlich flott gehen.

offenbar habe ich x0 und y vertaucht.
leider haben noch nicht lipschizstetigkeit gehabt.

wegen delta>0, habe ich vergessen zu erwähnen, wähle ein delta>0 und so dass
abs (x-x0)<delta

sei x,x0 > 0
mit abs (x-x0)<delta -> abs((x/x0)-1)<delta*x0

abs(ln(x)-ln(x0)=abs(ln(x/x0))=abs(ln((x/x0)-1)+1))

es gilt doch für alle (x/x0)-1<=abs((x/x0)-1)<delta*x0

abs(ln(x)-ln(x0)=abs(ln(x/x0))=abs(ln((x/x0)-1)+1))<ln(delta*x0+1)

sind die schritte soweit nachvollziehbar?

28.11.2014, 15:52

IfindU

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RE: ln stetig
Also noch einmal
$\begin{eqnarray*} | x- x_0| < \delta \not\implies \left| \frac x{x_0} - 1\right| < \delta \cdot x_0 \end{eqnarray*}$ .
Was wirklich gilt ist
$\begin{eqnarray*} | x- x_0| < \delta \not\implies \left| \frac x{x_0} - 1\right| < \frac \delta {x_0} \end{eqnarray*}$ .

Zudem hilft es nicht, wenn du sagst $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , wenn du später $\begin{eqnarray*} \delta := \frac { e^{\epsilon}}{x_0} - 1 \end{eqnarray*}$ setzt. Sei z.B. $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 = e \end{eqnarray*}$ . Dann hast du gerade $\begin{eqnarray*} \delta = 0 \end{eqnarray*}$ . Und es ist absolut kein Problem die Werte $\begin{eqnarray*} \epsilon, x_0 \end{eqnarray*}$ so zu wählen, dass dort etwas negatives steht.

28.11.2014, 17:22

neuling....

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Danke für deine mühen!
ich habe nochmals nachgedacht und bin soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} | x- x_0| < \delta \implies \left| \frac x{x_0} - 1\right| < \frac \delta {x_0} \end{eqnarray*}$ *
$\begin{eqnarray*} \left | ln(x)-ln(x_0) \right |=\left | ln\frac{x}{x_0} \right |=ln \frac{x}{x_0} \end{eqnarray*}$

* folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x_0}<1+ \frac{\delta}{x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^\varepsilon >(1+\frac{\delta }{x_0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left | ln(x)-ln(x_0) \right |=\left | ln\frac{x}{x_0} \right |=ln \frac{x}{x_0} <ln(1+\frac{\delta }{x_0})<ln(e^\varepsilon)<\varepsilon \end{eqnarray*}$

28.11.2014, 17:31

IfindU

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Das sieht schon viel besser aus Freude

Freude

Es fehlt noch eine kurze Begründung warum $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und der Schritt in dem du die Betragsstriche weglässt stimmt nur für $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x \end{eqnarray*}$ . Für den anderen Fall musst du eine Ungleichung für $\begin{eqnarray*} \frac {x_0} x \end{eqnarray*}$ herleiten.

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28.11.2014, 17:55

neuling....

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Zitat:

Original von IfindU
Das sieht schon viel besser aus Freude

Freude

Es fehlt noch eine kurze Begründung warum $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und der Schritt in dem du die Betragsstriche weglässt stimmt nur für $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x \end{eqnarray*}$ . Für den anderen Fall musst du eine Ungleichung für $\begin{eqnarray*} \frac {x_0} x \end{eqnarray*}$ herleiten.

Mein Tutor hat als Hilfestellung für den fall x0<x

die Gleichung: (1/(1+delta/x0)<x/x0 hingeschrieben, meinst du damit die Ungleichung herleiten?

allerdings weiß ich nicht wieso das gilt.

28.11.2014, 22:59

neuling....

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sei x0>x
$\begin{eqnarray*} | x- x_0| < \delta \implies \left| \frac x{x_0} - 1\right| < \frac \delta {x_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac x{x_0}>- \frac \delta {x_0}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac x{x_0}>- \frac \delta {x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}}<\frac{x_0}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\delta }{x_0}+1}<\frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}+1}<\frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}}<\frac{x_0}{x} \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} e^-\varepsilon<\frac{1}{1+\frac \delta {x_0}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left | ln(x)-ln(x_0) \right |=\left | ln\frac{x}{x_0} \right |=-ln \frac{x}{x_0}=ln \frac{x_0}{x}> ln(e^-\varepsilon)>-\varepsilon \end{eqnarray*}$

Vllt kannst nochmals drüber lesen smile

smile

29.11.2014, 21:39

IfindU

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Tut mir Leid, gestern bin ich nicht mehr dazu kommen. Wie du merkst ist es gerade nicht wirklich sinnvoll. Alles was du weißt, ist dass der Betrag (der immer größergleich 0 ist), größer als eine negative Zahl ist.

Dein Fehler ist in der 4. Zeile. Wenn du den Kehrwert nimmst, so dreht sich das Vorzeichen. Damit bekommst du die Ungleichung in die richtige Richtung, und damit wirst du den Beweis beenden können.

29.11.2014, 23:01

neuling....

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}}>\frac{x_0}{x} \end{eqnarray*}$ so?

29.11.2014, 23:13

neuling....

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Zitat:

Original von IfindU

Dein Fehler ist in der 4. Zeile. Wenn du den Kehrwert nimmst, so dreht sich das Vorzeichen.n.

aber ich dividiere auch durch eine negative zahl, sodass sich das Vorzeichen wieder umdreht!

30.11.2014, 12:02

IfindU

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Du brauchst die +1 sowieso, deswegen würde ich sie gar nicht erst wegschätzen, nur damit du sie später wieder dazu nimmst. Wenn du delta dann oBdA klein genug wählst, sind beide Seiten positiv.

30.11.2014, 17:46

neuling....

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}+1}>\frac{x_0}{x} \end{eqnarray*}$

Damit soll ich arbeiten?

30.11.2014, 17:50

IfindU

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Jop. Ich würde wenigstens an deiner Stelle Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2014, 20:35

neuling....

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ich weiß nicht wie es benutzten kann um lnx>-epsilon abzuschätzen.
hast du einen tipp?

30.11.2014, 21:05

IfindU

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Du bist praktisch fertig. Ich habe mal den Anfang deiner Ungleichungskette kopiert und einen Schritt ergänzt. Siehst du es nun?

$\begin{eqnarray*} \left | \ln(x)-\ln(x_0) \right |=\left | \ln\frac{x}{x_0} \right |=-\ln \frac{x}{x_0}=\ln \frac{x_0}{x} \end{eqnarray*}$

30.11.2014, 22:57

neuling....

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$\begin{eqnarray*} \left | \ln(x)-\ln(x_0) \right |=\left | \ln\frac{x}{x_0} \right |=-\ln \frac{x}{x_0}=\ln \frac{x_0}{x}<ln(\frac{1}{-\frac{\delta }{x_0}+1}) \end{eqnarray*}$

tut mir leid, aber ich komme einfach nicht darauf.
wie soll ich das epsilon im spiel bringen?

30.11.2014, 23:02

IfindU

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So wie du es schon die ganze Zeit gemacht hast:
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ s.d.
$\begin{eqnarray*} e^{\epsilon} \geq \frac 1 { 1 - \frac { \delta } {x_0}} \end{eqnarray*}$ .

30.11.2014, 23:16

neuling....

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Vielen Dank!
Wink

Wink

01.12.2014, 09:12

IfindU

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Gerne. Und denk daran: es ist zu begründen, warum so ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert.

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