Rekursive Folge mit einem Intervall als Startwert

28.11.2014, 15:39	MaxSnap	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge mit einem Intervall als Startwert Meine Frage: Hey, Ich arbeite mich gerade durch die Zusatzaufgaben und komme hier nicht mehr weiter.. Ich würde mich freuen wenn ich ein paar Denkanstöße von euch bekommen könnte! Ich habe Ansätze für die Teilaufgaben, aber ich bezweifle dass die richtig sind. Hier erstmal die Aufgabe: Die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ sei rekursiv durch einen Startwert $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ Element von [0,2] und die Vorschrift $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{a_{n} (a^2_{n}+3)}{3a^2_{n}+1 } \end{eqnarray}$ gegeben. (a) Zeigen Sie die beiden Aussagen: 0< $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ <1 -> 0< $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ <1 ; 1< $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ <2 -> 1< $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ <2 ; für alle n Element $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (b) Zeigen sie, dass 0< $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ <1 streng monoton wachsend, für 1< $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ <2 die Folge streng monoton fallend ist. (c) Für welche a0 Element von [0,2] konvergiert die Folge? Berechnen sie gegebenfalls den Grenzwert. Meine Ideen: Und hier die Lösung für (a) falls es richtig ist: (ist ein wenig gekürzt) $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{a_{n} (a^2_{n}+3)}{3a^2_{n}+1 } \end{eqnarray}$ Zu zeigen 0< $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ <1 $\begin{eqnarray} a_{1}=\frac{a_{0} (a^2_{0}+3)}{3a^2_{0}+1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1}>\frac{0 (0+3)}{30+1 } \end{eqnarray}$ >0 $\begin{eqnarray} a_{1}>\frac{1 (1^2+3)}{31^2+1 } \end{eqnarray}$ <1 Daher gilt auch $\begin{eqnarray} 0<a_{n}<1 \end{eqnarray}$ Das gleiche mache ich mit der zweiten Aussage. Reicht das? Bei der (b) weiß ich nicht sorecht wie ich die Monotonie beweisen kann, da man immer dieses bescheuerte Intervall hat.... Im Allgeinem gilt: $\begin{eqnarray} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray}$ Kann mir da einer weiterhelfen? Für die (c) muss man quasi erst die (b) beantworten. Ich würde mich auf eine Antwort freuen, sie muss nicht schnell sein! Im Internet findet man leider nicht soviel Hilfestellung zu solchen Aufgaben. Wenn meine (a) richtig ist, brauche ich nur hilfe zur (b) ,ich hoffe, ich kriege dann die (c) alleine hin! MfG, MaxL
28.11.2014, 16:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es lohnt sich, die die Rekursion treibende Funktion $\begin{align} f(x) = \frac{x(x^2+3)}{3x^2+1} \end{align}$ hier mal näher anzusehen: Da ist $\begin{align} f'(x) = \frac{3(x^2-1)^2}{(3x^2+1)^3} \geq 0 \end{align}$ , und dabei =0 nur in den Punkten $\begin{align} x=\pm 1 \end{align}$ . Daher ist Funktion $\begin{align} f \end{align}$ streng monoton wachsend, was sowohl für (a) also auch (b) eine starke Argumentationshilfe ist. Unter anderem hast du das bereits genutzt - oder wie sonst begründest du, dass aus $\begin{align} 0 < a_0<1 \end{align}$ auch wirklich $\begin{align} a_1<\frac{1(1^2+3)}{31^2+1} \end{align*}$ geschlossen werden darf?
28.11.2014, 17:27	MaxSnap	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, das mit der Funktion zu berechnen ist richtig clever! Vielen Dank! Ich sehe meinen Fehler in der a.. es war eher ein verzweifelter Versuch. Ich denke jetzt sollte ich die Aufgabe berechnen können

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