Funktion überall differenzierbar?

28.11.2014, 18:32

winki2008

Funktion überall differenzierbar?

Hallo, habe ich folgende Aufgabe richtig verstanden/gelöst?

Ich behaupte: $\begin{eqnarray*} f(x):=\left\{ \begin{pmatrix} e{^{\frac{-1}{x^{2} }}}:x\neq 0 \\ 0:x=0 \end{pmatrix} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$ sei überall differenzierbar.

Ableitung für $\begin{eqnarray*} x\neq 0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)'=(e^{\frac{-1}{x^{2} }})'={\frac{2}{x^{3}} \cdot e^{-\frac{1}{x^2} } } <br /> \end{eqnarray*}$

Ableitung existiert für alle x ungleich 0.

Annäherung an die Stelle x=0+ (also von rechts) mittels Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} f(x)' =\lim_{x \to 0+} {\frac{2}{x^{3}} \cdot e^{-\frac{1}{x^2} } } \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} t:=\frac{1}{x} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lim_{x \to \infty} { t^3 \cdot e^{-t^2} }=2 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{t^3}{e^{t^2}} } \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{3t^2}{2t \cdot e^{t^2}} } =3 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{t}{ \cdot e^{t^2}} } =(L'Hospital)=3 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{1}{2t \cdot e^{t^2}} = \frac{3}{2} \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{1}{t \cdot e^{t^2}} }}=0 \end{eqnarray*}$

Weil es sich um eine gerade Funktion handelt, ist die Annäherung von links gleich der Annäherung von rechts.

Annäherung an die Stelle x=0 mittels Differentialquotienten:

$\begin{eqnarray*} f(x)'=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{{e^{-\frac{1}{x^2} } }-0}{x-0}=\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2} } \cdot \frac{1}{x} = \lim_{t \to \infty } e^{-t^2 } \cdot t = \lim_{t \to \infty } \frac{t}{ e^{t^2 }} ="L'Hospital"= \lim_{t \to \infty } \frac{1}{2t \cdot e^{t^2 }}=0 \end{eqnarray*}$

Ableitung von f(x) wenn x=0:

$\begin{eqnarray*} 0'=0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion überall stetig differenzierbar.

Stimmt das?

[attach]36238[/attach]

29.11.2014, 11:45

Helfer (anonym)

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Das interessante ist, dass die Funktion e^(-1/x²) bereists die beschriebe Form von f(x) hat. Das heißt für x=0 ist die Funktion 0, obwohl man durch einsetzten ja eigentlich auf 1 schließen kann, daher sit die Grenzwertbetrachtung schon richtig. Ja sie ist differenzierbar. Wo ist jetzt der Unterschied zwischen differenzierbar und stetig differenzierbar? Denn bei x=0 ist die nicht stedig! ist nach der Differenzierbarkeit oder der stetigen Differenzierbarkeit gefragt?

29.11.2014, 13:35

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Helfer (anonym)
Das interessante ist, dass die Funktion e^(-1/x²) bereists die beschriebe Form von f(x) hat. Das heißt für x=0 ist die Funktion 0, obwohl man durch einsetzten ja eigentlich auf 1 schließen kann, daher sit die Grenzwertbetrachtung schon richtig.

Wie kommst du denn darauf? 0 "einsetzen" liefert $\begin{align*} e^{-\infty}= \frac{1}{e^\infty}=0\not= 1 \end{align*}$ .

Zitat:

Ja sie ist differenzierbar. Wo ist jetzt der Unterschied zwischen differenzierbar und stetig differenzierbar? Denn bei x=0 ist die nicht stedig! ist nach der Differenzierbarkeit oder der stetigen Differenzierbarkeit gefragt?

Die Funktion ist sehr wohl stetig im Punkt x=0. Dies kann man durch eine Grenzwertbetrachtung feststellen. Der Unterschied zwischen differenzierbar und stetig differenzierbar liegt darin, dass im zweiten Fall auch die Ableitung stetig sein muss. Im ersten Fall muss dies nicht sein (schönes Beispiel auf wikipedia). Hier ist offenbar nur nach Differenzierbarkeit gefragt.

29.11.2014, 13:54

RavenOnJ

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RE: Funktion überall differenzierbar?

Zitat:

Original von winki2008
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lim_{x \to \infty} { t^3 \cdot e^{-t^2} }=2 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{t^3}{e^{t^2}} } \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{3t^2}{2t \cdot e^{t^2}} } =3 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{t}{ \cdot e^{t^2}} } =(L'Hospital)=3 \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{1}{2t \cdot e^{t^2}} = \frac{3}{2} \cdot \lim_{x \to \infty } {\frac{1}{t \cdot e^{t^2}} }}=0 \end{eqnarray*}$

Hier müsstest du natürlich immer t gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ gehen lassen, nicht x. Ist aber offenbar nur ein Schreibfehler, trotzdem muss man auch auf sowas achten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)'=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{{e^{-\frac{1}{x^2} } }-0}{x-0}=\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2} } \cdot \frac{1}{x} = \lim_{t \to \infty } e^{-t^2 } \cdot t = \lim_{t \to \infty } \frac{t}{ e^{t^2 }} ="L'Hospital"= \lim_{t \to \infty } \frac{1}{2t \cdot e^{t^2 }}=0 \end{eqnarray*}$

Hier wolltest du wohl die Ableitung im Punkt x=0 zeigen, also $\begin{align*} f'(0) \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ . Und sowas $\begin{align*} 0'=0 \end{align*}$ ist was ganz anderes, nämlich die Ableitung der Nullfunktion. Du meintest wohl $\begin{align*} f'(0)=0 \end{align*}$ .
Ansonsten sind deine Schlussfolgerungen richtig. Eigentlich war aber nur nach Differenzierbarkeit gefragt und nicht nach stetiger Differenzierbarkeit.

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