exp(J)

28.11.2014, 20:32

Shiby

exp(J)

Es gilt folgendes DGL zu lösen

$\begin{eqnarray*} y' = Jy \end{eqnarray*}$

Folgende Matrix sei bereits in JNF gegeben.
$\begin{eqnarray*} J = \begin{pmatrix} 2& 1 \\ 0 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich muss doch jetzt nur $\begin{eqnarray*} exp(J) \end{eqnarray*}$ berechnen und habe die Lösung oder?
Aber wie?

28.11.2014, 21:33

Hausmann

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RE: exp(J)
Moin!
Es handelt sich vermutlich um gekoppelte DGL $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u(x) \\ v(x) \end{pmatrix}^\prime=\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 0 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u(x) \\ v(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v(x) ist einfach, u(x) überblicke ich nocht nicht. mfG

28.11.2014, 21:47

HAL 9000

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RE: exp(J)

Zitat:

Original von Shiby
Ich muss doch jetzt nur $\begin{eqnarray*} exp(J) \end{eqnarray*}$ berechnen und habe die Lösung oder?
Aber wie?

Jede solche Jordanmatrix $\begin{align*} J \end{align*}$ lässt sich als Summe einer Diagonalmatrix und einer speziellen nilpotenten Matrix $\begin{align*} N \end{align*}$ schreiben. Es gilt dann

$\begin{align*} \exp(J) = \exp(D+N) = \exp(D)\cdot \exp(N) \end{align*}$ , und letzteres wird berechnet über die dann abbrechende Reihe

$\begin{align*} \exp(N) = \sum_{k=0}^{d-1} \frac{N^k}{k!} \end{align*}$ ,

wobei $\begin{align*} d \end{align*}$ die Matrix-Dimension ist. Im vorliegenden Fall ist demnach $\begin{align*} D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align*}$ und $\begin{align*} N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$ .

29.11.2014, 03:15

Shiby

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$\begin{eqnarray*} exp(N) = \sum_{k=0}^1 \frac{N^k}{k!}\ = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& 1\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1\\ 0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(D) = \begin{pmatrix} e^2& 0\\ 0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(D)\cdot exp(N) = \begin{pmatrix} e^2& 0\\ 0&e^2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &1\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^2& e^2\\ 0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun müsste doch gelten $\begin{eqnarray*} y = exp(Jx) = \begin{pmatrix} e^{2x} &e^{2x}\\ 0&e^{2x}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was aber leider nicht stimmt
$\begin{eqnarray*} y' = \begin{pmatrix} 2e^{2x} &2e^{2x}\\ 0&2e^{2x}\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 &1\\ 0&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e^{2x} &e^{2x}\\ 0&e^{2x}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{2x} &3e^{2x}\\ 0&2e^{2x}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.11.2014, 10:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shiby
Nun müsste doch gelten $\begin{eqnarray*} y = exp(Jx) = \begin{pmatrix} e^{2x} &e^{2x}\\ 0&e^{2x}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fehlschluss: Tatsächlich ist

$\begin{align*} Jx = Dx+Nx = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

und es ist zwar

$\begin{align*} \exp(Dx) = \begin{pmatrix} e^{2x} & 0\\ 0 & e^{2x} \end{pmatrix} \end{align*}$

aber dann

$\begin{align*} \exp(Nx) = \begin{pmatrix} 1 & x\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*}$

und somit

$\begin{align*} \exp(Jx) = \begin{pmatrix} e^{2x} & xe^{2x}\\ 0 & e^{2x}\end{pmatrix} \end{align*}$ .

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