Optimierung nach Lagrange mit Cobb-Douglass-Funktion als Nebenbedingung

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Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung nach Lagrange mit Cobb-Douglass-Funktion als Nebenbedingung
Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard-Community,

wieder einmal stehe ich vor einem für mich aktuell noch unlösbaren Problem im Zusammenhang mit dem Lagrangeansatz. Im Folgenden werde ich den Aufgabentext posten und meinen Lösungansatz. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen :-).

Aufgabe:
Sie sind als Hersteller des Medikaments "Xubron forte" im Auftrag eines pharmazeutischen Unternehmens tätig. Zur Herstellung von "Xubron forte" benötigen Sie nur die Arbeitskraft eines ungelernten Hilfsarbeiters, der Sie 10Euro pro Stunde kostet, sowie den Grundstoff Acetylsalicylsäure, der Sie 8Euro pro Kilo kostet. Sie haben herausgefunden, dass Sie die gleiche Menge des Endprodukts mit verschiedenen Kombinationen von Arbeitseinsatz und Grundstoff herstellen können und die Produktion von 1KG "Xubron forte" folgender Gesetzmäßigkeit folgt:

1KG "Xubron forte" = Hilfsarbeiterstunde^0,7 * Acetylsalicylsäure^0,3 (quasi eine Cobb-Douglas-Funktion?!)

Ihr Auftraggeber hat bei Ihnen gerade wieder 250KG "Xubron forte" bestellt.

Berechnen Sie, welche Menge an Grundstoffen und Hilfsarbeiterstunden Sie für den anstehenden Auftrag einsetzen sollten.



Meine Ideen:
So nun mein Ansatz:

x1= Hilfsarbeiterstunden; x2=Acetylsalicylsäure

Hauptfunktion:
f(x1,x2)=10*x1+8*x2

Nebenbedingung:


Lagrange-Zielfunktion:


Partielle Ableitungen:

(1)Nach x1:


(2)Nach x2:


(3)Nach Lambda:


Nun setze ich (1) und (2) = 0, bringe die allein stehenden Summanden 8 und 10 auf die rechte Seite der Gleichungen und dividiere (2) durch (1) um Lambda zu eliminieren.



Vereinfacht (Lambda herausgekürzt, und die Faktoren mit den 8/10 verrechnet) komme ich auf folgendes Ergebnis:



Ich weiß nun vom Dozenten das für x1 ungefähr 302 und für x2 ungefähr 161,5 als Ergebnis herauskommen sollten.

Ich komme aber nicht mehr weiter. Wenn ich mein Ergebnis nach x1 oder x2 auflöse und in die Nebenbedingung einsetze bekomme ich diese Zahlen leider nicht heraus.
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RE: Optimierung nach Lagrange mit Cobb-Douglass-Funktion als Nebenbedingung
Wenn du das in die Gleichung einsetzt, steht es doch sofort da verwirrt
Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe echt auf dem Schlauch. Wenn ich was genau in die Gleichung einsetze?

Mich verwirren die Exponenten. Die Ergebnismengen weiß ich im Grunde ja noch nicht. Die müsste ich ja mit x1/x2=1,87 erst einmal ermitteln. :-(
Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde nun so weiter machen:

x1 = 1,87 * x2

Das setze ich nun in die Nebenbedingung ein:

(1,87*x2)^0,7 * x2^0,3 = 250

Variablen mit gleichen Exponenten lassen sich doch nach den Potenzregeln einfach addieren, somit komme ich auf

1,87 * x2 = 250

Nach x2 aufgelöst komme ich so auf

x2 = 133,69

Was ja bekanntlich falsch ist verwirrt
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Da gibt's noch mehr Potenzgesetze, z.B. Augenzwinkern
und das führt dann auf
Edit: Wenn du statt des gerundeten 1,87 den exakten Wert 28/15 verwendest, stimmen auch die Nachkommastellen.
Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott bin ich blöd!!! Danke dir vielmals!!!
 
 
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aber gerne
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