Dreidimensionaler Vektorraum |
| 29.11.2014, 13:03 | linearealgebra123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dreidimensionaler Vektorraum Können die Vektoren u=(1;0;1) v=(0;0;1) w=(-1;0;1) als Basis für den dreidimensionalen Vektorraum verwendet werden (mit Beweis)? Meine Ideen: Ich denke, dass diese Vektoren keine Basis für einen dreidimensionalen Vektorraum sein können, weil die Vektoren nur die x1-x3-Ebene aufspannen, aber die anderen beiden Ebenen nicht. Aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Aus diesen drei Vektoren muss ja jeder andere Vektor im Vektorraum hergeleitet werden können, oder? Aber da keine Vektoren in die x1-x2-Ebene und x2-x3-Ebene zeigen, ist das ja gar nicht möglich, oder? |
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| 29.11.2014, 13:10 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist eine sehr anschauliche Erklärung, das reicht nicht als mathematische Begründung. Es gibt jetzt mehrere Möglichkeiten, deine Vermutung zu bestätigen. Du könntest zum Beispiel einmal annehmen, dass diese Vektoren eine Basis bilden. Dann müsstest du ja auch als Linearkombination aus deinen drei Vektoren bilden können... |
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| 29.11.2014, 13:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis 1: Die Vektoren sind linear abhängig. (Das musst du nur noch beweisen). Beweis 2: Der Vektor (0,1,0) ist nicht darstellbar. (Das musst du nur noch beweisen). Beweis 3: Deine Vermutung ist richtig, es gibt nicht darstellbare Ebenen. (Das musst du nur noch beweisen). |
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| 29.11.2014, 13:14 | Hausmann | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oder, als Abwandlung 4, man zeigt, daß sich einer der drei als Linearkombination der zwei anderen schreiben läßt. |
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| 29.11.2014, 13:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. 4 ist äquivalent zu 1. Genauer: Jeder lässt sich als LK der beiden anderen darstellen. |
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| 29.11.2014, 13:40 | linearealgebra123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, vielen Dank, ich habe die Aufgabe jetzt gelöst. Da die drei Vektoren komplanar sind, sind sie auch linear abhängig voneinander. Das habe ich berechnet über die Determinate, die 0 ergab, also sind sie tatsächlich linearabhängig. |
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