Lineare Abbildung (Dimension von Kern und Bild, sowie Kern und Bild)

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29.11.2014, 13:46	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung (Dimension von Kern und Bild, sowie Kern und Bild) Meine Frage: Moin Moin von der Küste Ich habe folgende Matrix gegeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 5 & -4 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese kann man als lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{4} \to \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ aufgefasst werden. $\begin{eqnarray} A: \{ \mathbb R^{4} \to \mathbb R ^{3}<br /> \{ \vec{x} \to A\vec{x} \end{eqnarray}$ Die zwei klammern sind eine große a) Bestimme die Dimension des Kerns von A b) Bestimme den Kern von A c) Bestimme die Dimension des Bildes von A d) Bestimme das Bild von A Meine Ideen: Meine Idee ist es erstmal die Matrix A in die NZSF $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \frac{-4}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann sehe ich das Spalte 2 und 4 Nicht-Kopfvariablen haben, das heißt sie sind nicht linear unabhängig sind und ab da komme ich gerade nicht weiter
29.11.2014, 14:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
An dieser Form der Matrix sieht man sofort die Dimension von Bild und Kern. Den Kern mit Gauß und das Bild mit Standardverfahren zu berechnen sind Standardaufgaben der linearen Algebra. Fehlt Dir das dazu nötige Studium ? Wie kann man Dir helfen ?
29.11.2014, 14:34	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm an der Form sieht man gleich die Dimensionen???
29.11.2014, 14:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Rang(A) ist die dimension von was ? Was folgt sofort nach dem Dimensionsatz für die Dimension von was ?
29.11.2014, 14:48	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja na klar der Rang (A) = dim(Bild(A)) dim V = dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) dim V = 4 Rang A = 2 = dim (Bild(A)) dim (Kern(A)) = 2 Gut jetzt noch Kern und Basis von Bild A bestimmen
29.11.2014, 14:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
na geht doch.
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29.11.2014, 15:11	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir da bitte auch noch einen Denkanstoß geben?
29.11.2014, 15:56	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgende Päärchen und soll sagen ob die im Kern von A sind Paar 1 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Paar 2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Paar 3: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich würde sagen alle 3 Päärchen sind nicht Kern, richtig?
29.11.2014, 16:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erklär mir bitte mal für das erste Paar. Und dann für das zweite und dann für das dritte
29.11.2014, 16:22	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Na Kern ist ja Matrix mal Vektor = 0-Vektor Als LGS: 5a-4b+2c-d = 0 <=> 5a - 4b + c c-d = 0 <=> c =d 5a-4b+3c-2d =0 <=> 5a - 4b + c So Paar 1 ist nur dreizeilig...der Vektor müsste aber 4-zeilig sein Paar 2 ist sogar nur einzeilig und Paar 3 passt vom einsetzen her nicht Bei dem Nullvektor schon aber beim zweiten Vektor nicht: 5 * 0 - 4* 0 + 1 <=> 1 und das ist nicht gleich null
29.11.2014, 16:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast so recht. Ich habe das "nicht" in deinem vorigen Beitrag überlesen Bitte entschuldige
29.11.2014, 16:51	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ja mal vorkommen Bei der Basis des Bildes gibt es folgende Paar 1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Paar 2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das Trio: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,<br /> \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier vermute ich, dass Paar 1 und das Trio stimmen weil das sind quasi die Spalten der Matrix bzw. vielfache von diesen... richtig?
29.11.2014, 16:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn nach einer Basis des Bildes gefragt ist, kommt das Trio nicht in Frage. Warum? Paar 1 ist richtig. Allerdings solltest du das besser begründen. Die erste und die zweite Spalte der Matrix wären z.B. keine Basis.
30.11.2014, 11:30	Macht des Nordens	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo Trio geht wegen Rang 2 nicht Danke dir

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