unbestimmtes Integral

29.11.2014, 15:51	Gamtja	Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmtes Integral Zwei verschiedene Computeralgebra-Systeme zeigen bei der unbestimmten Integration derselben Funktion folgende Ergebnisse an (Konstanten werden hier oft weggelassen): $\begin{eqnarray} \int \! f(x) \, dx = \frac{x}{x-1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \int \! f(x) \, dx = \frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$ Also bilde ich zum Überprüfen die Ableitung der ersten Gleichung und benutze dazu die Quotientenableitungsregel. $\begin{eqnarray} y = \frac{x}{x-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = x, u' = 1, v = x-1, v' = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y ' = \frac{u' v - u * v'}{v²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = \frac{1 * (x-1) - x * 1}{(x-1)²} = - \frac{1}{(x-1)²} \end{eqnarray}$ Und nun die Ableitung der zweiten Gleichung: $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = 1, u' = 0, v = x-1, v' = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = \frac{0 * (x-1) - 1 * 1}{(x-1)²} = - \frac{1}{(x-1)²} \end{eqnarray}$ Also krieg ich bei beiden dasselbe raus. In meinem Lösungsheft steht aber: "Die Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante:" $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1} +1 \end{eqnarray*}$ wieso ?
29.11.2014, 16:06	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist beides richtig. Du zeigtest, dass es in beiden Fällen auf die Gleiche Funktion f(x) zurückzuführen ist, während diese zeigten, dass sich ersteres auf letzteres umformen lässt plus der Addition einer Konstanten. Das aber ist dasselbe, denn eine unbestimmte Stammfunktion wird durch $\begin{eqnarray} \int f(x) = F(x) + c \end{eqnarray}$ angegeben. Sprich eine Konstante ist erlaubt . Die haben sich also durch ne Vereinfachung des ersten Ausdrucks und dem Vergleich eine Ableitung gespart^^.
29.11.2014, 16:19	Gamtja	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, danke, ich dachte im Lösungsheft steht die erste Ableitung dabei sind das die Stammfunktionen.
29.11.2014, 16:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem,

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