Abschätzung

29.11.2014, 16:18

Romaxx

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Abschätzung

Hallo zusammen,

anbei folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq\phi_1\leq\phi_2\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ sei der Weg $\begin{eqnarray*} \phi_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ parametrisiert durch $\begin{eqnarray*} \phi:=a+\epsilon e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \phi \in [\phi_1,\phi_2] \end{eqnarray*}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ habe einen einfachen Pol in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_{\epsilon}} f(z)dz=i(\phi_1-\phi_2)Res_a f \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \phi_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_2=2\pi \end{eqnarray*}$ ist das gerade der Resudiensatz.

Wie sieht es für die anderen Fälle aus?

ich bin soweit, dass ich die Parametrisierung eingesetzt habe.

Leider fehlt mir jeglicher Mut zum Abschätzen.

Ich meine ich muss den Ausdruck vorher noch Umformen, indem ich ausnutze, dass a einfache Polstelle ist.

29.11.2014, 19:16

Guppi12

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Hallo,

ich schlage vor, wie nehmen mal o.B.d.A $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ an, das spart Schreibarbeit.

Schreib doch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erstmal in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Laurentreihe. Dann kannst du den $\begin{eqnarray*} -1. \end{eqnarray*}$ Summand dieser Reihe mal abstalten und schauen, was die einzelnen Teile für sich machen, wenn du $\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_\epsilon} \end{eqnarray*}$ darauf los lässt.

30.11.2014, 11:31

Romaxx

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$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\delta)}{\delta^{k+1}}d\delta\right)\;z^k \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht.

30.11.2014, 15:43

Guppi12

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Das ist viel zu umständlich. Muss die Reihe wirklich bei $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ starten?
Außerdem kannst du die Koeffizienten einfach $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ nennen, welchen Wert die haben, ist bis auf bei einem völlig egal.

Was bekommst du dann, wenn du den $\begin{eqnarray*} (-1). \end{eqnarray*}$ Koeffizienten abspaltest und beide Teil einzeln über $\begin{eqnarray*} \phi_\epsilon \end{eqnarray*}$ integrierst?

30.11.2014, 16:07

Romaxx

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Naja, gut, wir wissen, das wir in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen einfachen Pol haben.
Deshalb müssten es nur endlich viele $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ mit negativem Index geben, sprich:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{k=-l}^{\infty}a_k z^k=c_{-1}\frac{1}{z}+\sum\limits_{k=-l}^{-2}a_k z^k +\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k z^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi_{\epsilon}}\sum\limits_{k=-l}^{-2}a_k z^k=\sum\limits_{k=-l}^{-2}\int_{\phi_{\epsilon}}a_k z^k=\sum\limits_{k=-l}^{-2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}a_k (\epsilon e^{i\phi})^k\epsilon e^{i\phi}=\sum\limits_{k=-l}^{-2}\left[\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\phi})^{k+1}\right]_{\phi_1}^{\phi_2} \end{eqnarray*}$

ist das soweit in Ordnung?

30.11.2014, 16:20

Guppi12

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Zitat:

Deshalb müssten es nur endlich viele $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ mit negativem Index geben, sprich:

Kannst du nicht genau angeben, was $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist? Schließlich haben wir einen Pol erster Ordnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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30.11.2014, 16:40

Romaxx

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D.h. wir haben nur $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ als negativen Index?
Ok, das vereinfacht das noch einmal erheblich.

Also nur der Nebenteil,

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi_{\epsilon}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k z^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{\phi_{\epsilon}}a_k z^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{\phi_1}^{\phi_2}a_k (\epsilon e^{i\phi})^k\epsilon e^{i\phi}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\phi})^{k+1}\right]_{\phi_1}^{\phi_2} \end{eqnarray*}$

Passt das wenigstens?

30.11.2014, 16:47

Guppi12

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~~Ne, das passt leider nicht~~ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Siehe unten.

Du hast vergessen, hinzuschreiben, wonach integriert wird, nämlich nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Außerdem fehlt bei der Ableitung des Weges ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Weiter (und das ist das gravierendste) hast du die Exponentialfunktion falsch integriert.

Das kannst du dir aber eigentlich alles sparen, denn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_kz^k \end{eqnarray*}$ ist doch holomorph auf einem Kreis um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , hat dort also eine Stammfunktion (nennen wir sie zum Beispiel $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ). Das könntest du nutzen, um dieses Integral leichter zu bestimmen.

Du kannst es auch so machen wie oben, aber dann bitte nochmal ansehen, wie man eine Exponentialfunktion integriert Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2014, 16:50

Romaxx

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Hammer

oh man...

Na gut, latex ist halt doch nochmal etwas anderes ^^

Ich melde mich gleich noch einmal...

30.11.2014, 16:56

Guppi12

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Moment, ich sehe gerade das Ergebnis stimmt doch, sorry.

Aber zwischendurch war das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ weg und das passte dann nicht mehr zum Ergebnis.

Dann kannst du ja jetzt einsetzen.

30.11.2014, 17:16

Romaxx

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Also erst einmal meine Ehre retten ^^...

$\begin{eqnarray*} \int_{\phi_{\epsilon}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k z^k dz=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{\phi_{\epsilon}}a_k z^k dz=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{\phi_1}^{\phi_2}a_k (\epsilon e^{i\phi})^k\epsilon ie^{i\phi}d\phi=\sum\limits_{k=0}^{\infty}i\left[\frac{a_k}{(k+1)i} (\epsilon^{k+1} e^{i\phi(k+1)})\right]_{\phi_1}^{\phi_2}\\<br /> =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\phi})^{k+1}\right]_{\phi_1}^{\phi_2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\phi_2})^{k+1}-\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\phi_1})^{k+1}\right]=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[\frac{a_k}{k+1} (\epsilon e^{i\frac{\phi_2}{\phi_1}})^{k+1}\right] \end{eqnarray*}$

Nun zu deinen Aussagen.

Integriere ich wirklich immer über einen Kreis (geschlossen)? Ich meine $\begin{eqnarray*} \phi_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_2 \end{eqnarray*}$ müssen nicht so sein, dass es immer einen Kreis ergibt.

Ich denke du willst darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} c_{-1} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Wenn sie holomorph ist, kann ich gleidweise auf und ableiten, müsste also nicht parametrisieren.

In meinem Script ist noch zu finden, dass die Potenzreihe dann divergiert, hm, will dem aber noch nicht ganz glauben schenken...

Ich hoffe das passt jetzt soweit...

Wie geht es weiter?

30.11.2014, 17:22

Guppi12

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Zitat:

Integriere ich wirklich immer über einen Kreis (geschlossen)?

Nein, das habe ich doch garnicht gesagt verwirrt

verwirrt

Edit: Jetzt sehe ich, was du meinst. Ich sagte nicht, dass wir auf einem Kreis integrieren, ich sagte nur, dass die Potenzreihe auf einer Kreisscheibe um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ holomorph ist und wir deshalb dort eine Stammfunktion finden. Das brauchen wir aber nun garnicht mehr, wir sind ja jetzt anders weitergegangen.

Zitat:

Ich denke du willst darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} c_{-1} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Nein, das kann sogar garnicht sein, denn dann hätte die Funktion keinen Pol 1. Ordnung.

In deiner Rechnung ist die letzte Gleichung nicht richtig. Da bringt du die Exponentialfunktion denke ich mit dem Logarithmus durcheinander. Aber du kannst doch davor an dieser Stelle mal $\begin{eqnarray*} \epsilon \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen lassen.

30.11.2014, 17:32

Romaxx

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Ok, abgesehen davon, dass der letzte Teil der Gleichung falsch ist, wollte einen exp Teil ausklammern, hab vergessen +1 und mal den ausgeklammerten Teil zu machen.

D.h. wenn ich vorher mit Epsilon gegen Null gehe, summiere ich nur Nullen auf, d.h. übrig von der Laurentreihe bleibt nur der Teil von dem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_{-1} \end{eqnarray*}$ .

Das geht, wegen absoluter Konvergenz.

Jetzt muss ich noch einmal schauen, was wir zeigen wollten.

Mit fehlt der Faden...

30.11.2014, 17:36

Guppi12

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Naja, wir wollen doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_{\epsilon}} f(z)dz=i(\phi_1-\phi_2)Res_a f \end{eqnarray*}$ zeigen.

Wir haben jetzt die linke Seite schonmal erheblich vereinfacht, denn was bleibt da nach bisherigen Erkenntnissen nur noch übrig?

30.11.2014, 17:38

Romaxx

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Ok,

$\begin{eqnarray*} \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_{\epsilon}} f(z)dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_{\epsilon}}c_{-1}\frac{1}{z}dz=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\phi_1}^{\phi_2}c_{-1}\frac{1}{\epsilon e^{i\phi}}i\epsilon e^{i\phi}d\phi=c_{-1}i\int_{\phi_1}^{\phi_2}d\phi=c_{-1}i\left[x\right]_{\phi_1}^{\phi_2}\stackrel{\mathrm{!}}{=}i(\phi_2-\phi_1)Res_a f \end{eqnarray*}$

und das passt!

Danke dir vielmals!!! Freude

Freude

30.11.2014, 18:03

Guppi12

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Ne, da musst du nochmal nachrechnen.

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