Grenzwert mit Stetigkeit der e-Funktion

29.11.2014, 18:15	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Stetigkeit der e-Funktion Hi ich bin gerade dabei verschiedene Grenzwertaufgaben zu lösen und bis jetzt klappt es ganz gut mit den Grenzwertsätzen und L'Hospital etc. Bisher ist $\begin{eqnarray} x \to irgend .einen. Wert \end{eqnarray}$ gegangen, doch jetzt kommt in der nächsten Aufgabe plötzlich $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ vor. Also anstatt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ jetzt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Da hab ich mich erstmal nicht beirren lassen und ich habe folgende Aufgabe so gerechnet: $\begin{eqnarray} {\lim_{n \to \infty }} ^n\sqrt{3} = \lim_{n \to \infty } 3^{\frac{1}{n} } =3^{0}=1 \end{eqnarray}$ Doch die Lösung macht diese Grenzwertaufgaben mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ irgendwie immer mit der $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ -Funktion. Und zwar so: $\begin{eqnarray} {\lim_{n \to \infty }} ^n\sqrt{3} = \lim_{n \to \infty } 3^{\frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} e^{ln(3^{\frac{1}{n} } )} = \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ -Funktion stetig: $\begin{eqnarray} e^{ln(3)\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} }=e^0=1 \end{eqnarray}$ Das mit den $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ Umformungen ist mir klar, da die zwei sich gegenseitig aufheben. Aber was mir nicht so klar ist: 1. WIE kommt man darauf das hier plötzlich mit $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ zu machen und 2. den Limes IN die $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ -Funktion einzusetzen bzw. hoch zu setzen?
29.11.2014, 23:17	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Tempi, der Reihe nach: Ob die Variable x oder n genannt wird, ist völlig egal, üblich ist es, natürliche Zahlen mit n und reelle mit x zu bezeichnen. Und da der Ausdruck $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{3} \end{eqnarray}$ nur definiert ist, wenn n eine natürliche Zahl ist, macht es Sinn, hier n als Variable zu verwenden. Zum Thema Stetigkeit: Im Grunde genommen machst du bei deinem Rechenweg das mit dem "Hochziehen des Limes" genauso, du hast diesen Zwischenschritt bloß nicht hingeschrieben: $\begin{eqnarray} {\lim_{n \to \infty }} ^n\sqrt{3} = \lim_{n \to \infty } 3^{\frac{1}{n} } =3^{\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}}=3^{0}=1 \end{eqnarray}$ Dies ist nur erlaubt, wenn man weiß, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=3^x \end{eqnarray}$ auf R stetig ist. Wahrscheinlich wurde das dort, wo die Lösung her ist, noch nicht bewiesen, und deswegen muss dort der Umweg über die e-Funktion gemacht werden, deren Stetigkeit offenbar bereits gezeigt wurde. Das ist alles. Da fast alle Funktionen, mit denen man in Aufgaben zu tun hat, bekanntermaßen stetig sind, kann es passieren, dass man solche Überlegungen einfach vergisst und automatisch anwendet. Deshalb mal ein kleines Gegenbeispiel, wo dein Lösungsweg falsch wäre: Die Vorzeichenfunktion sgn ist für reelle Zahlen so definiert: für positives x ist sgn(x)=1, für negatives x ist sgn(x)=-1 und sgn(0)=0. Diese Funktion ist offensichtlich bei x=0 unstetig, und deswegen darf man den folgenden Grenzwert nicht einfach "hineinziehen": Gesucht ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty} sgn \frac 1 x \end{eqnarray}$ FALSCH WÄRE: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to +\infty} sgn \frac 1 x =sgn \lim_{x \to +\infty} \frac 1 x=sgn(0)=0 \end{eqnarray}$ In Wirklichkeit ist der gesuchte Limes nämlich 1, da 1/x für positive x (egal wie groß) immer echt positiv ist und daher für jedes positive x gilt: sgn(1/x)=1, daher gilt dies auch für x gegen unendlich. LG Dustin

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »