LGS mit 3 Variablen - anschaulich

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Filius Bonacci Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit 3 Variablen - anschaulich
Meine Frage:
Also, gibt es zwei Terme mit zwei Variablen, kann man ja die Terme nach y auflösen und sie zeichnen lassen. Der Schnittpunkt (falls vorhanden) zeigt die Lösung.

Aber wie kann man bei 3 oder mehr Variablen die Lösung durch Graphen veranschaulichen?


Meine Ideen:
Danke smile
dungerbroth Auf diesen Beitrag antworten »

Dadurch, dass du 3 Variablen hast, musst du die Graphen natürlich im 3-dimensionalen aufbauen.

Wenn du lineare Gleichungen hast, hast du ja die Form ax+by+cz=k, also praktisch auch Ebenengleichungen in Koordinatenform. Und genau so könnte man sich das Gleichungssystem dann auch vorstellen, wie 3 Ebenen; 2 schneiden sich in einer Geraden, die dann einen Schnittpunkt mit der 3. hat - und die Koordinaten dieses Punktes sind dann die Lösungen.

Wenn die Gleichungen nicht linear sind (was man aber selten hat), ergeben sich unterschiedlich geformte Flächen, die dann nicht unbedingt eben sind; du kannst bei Wolfam Alpha z.B. mal so etwas plotten (z.B. z(x,y) = x² * ln(y)).

Das zu zeichnen ist dann allerdings schwer, weil es eben immer im Raum gezeichnet werden muss, und auch die Vorstellung der Ebenen wird schwer, vor allem deshalb, weil man aus der Gleichung heraus nicht unbedingt sofort die Ebene erkennt.
Filius Bonacci Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 3 Variablen - anschaulich
Also, muss man sich dann ein x-y-z Koordinatensystem vorstellen? Wo wären dann die Lösungen? Gibt es nur eine Lösungen, wenn sich alle 3 Linien schneiden?
Filius Bonacci Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 3 Variablen - anschaulich
Erstmal danke für die ausführliche Antwort smile

Ich frage mich aber noch, wie man da erkennt, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
dungerbroth Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, ein dreidimensionales eben ;D Und in denen hast du jetzt keine Geraden, sondern Ebenen. Eine Form von Ebenengleichungen ist die Koodinatenform ax+by+cz=k, also genau wie lineare Gleichungen mit 3 Variablen.

  • Es gibt keine Lösungen, wenn mindestens 2 Ebenen parallel sind. Das erkennst du an deinen Gleichungen, wenn du sie so umformen kannst, dass alle Koeffizienten gleich werden, aber die Konstanten verschieden sind.
  • Es gibt unendlich Lösungen, wenn es eine gemeinsame Schnittgerade gibt (dann liegen auf dieser alle Lösungen) ODER wenn mindestens 2 Ebenen identisch sind (also wenn du mindestens 2 Gleichungen so umstellen und mit Faktoren multiplizieren kannst, dass sie gleich sind) und ggf. die 3. dann nicht parallel ist.
  • Es gibt eine Lösung, wenn keine Ebene zu einer anderen parallel ist UND es keine gemeinsame Schnittgerade aller Ebenen gibt. Dies ist der Regelfall. Dabei bilden 2 Ebenen zusammen eine Schnittgerade, diese Gerade schneidet dann die 3. Ebene, woraus sich der Schnittpunkt aller 3 Ebenen ergibt; die Koordinaten sind dann, wie gesagt, die Lösung.
Filius Bonacci Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank Wink smile

Aber sind es sicher 3 Ebenen? Gibt es auch LGSs mit 2 Ebenen?

Und wie heißt der Themenbereich, über den du mich gerade aufklärst? Gehört das zur Algebra?
Liebe Grüße Augenzwinkern
 
 
dungerbroth Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat ja bei Gleichungssystemen normalerweise immer so viele Gleichungen wie Variablen, und so viele sind auch nötig, damit es ein eindeutiges Ergebnis geben kann Augenzwinkern

Es gibt auch Gleichungssysteme mit 3 Variablen, zu denen nur 2 Gleichungen gehören. Dann muss einfach nur die Bedingung für mögliche Lösungen aufgestellt (denn es gibt unendlich Lösungen, repräsentiert durch eine Schnittgerade) oder eine Variable frei gewählt und die anderen beiden berechnet werden.

Also Gleichungssysteme gehören ja grundsätzlich zur Algebra. Ebenen würde ich jedoch eher der Geometrie zuordnen, mit denen beschäftigt man sich vor allem im Bereich der Vektorrechnung.
Wenn man solche größeren Gleichungssysteme hat veranschaulicht man das eigentlich nicht, vermutlich vor allem eben deshalb, weil die Darstellung schwer fallen würde, weil man Ebenen zeichnen müsste; wenn man 4 oder mehr Variablen und Gleichungen hat, ist eine vernünftige Darstellung eigentlich unmöglich.
Filius Bonacci Auf diesen Beitrag antworten »

Erneut danke smile


Aber eine Frage noch

"Es gibt keine Lösungen, wenn mindestens 2 Ebenen parallel sind. Das erkennst du an deinen Gleichungen, wenn du sie so umformen kannst, dass alle Koeffizienten gleich werden, aber die Konstanten verschieden sind."

Gilt das nicht auch, wenn es auch 3 Ebenen gibt, die nicht parallel zueinander sind, aber keine Schnittgerade bilden, die eine weitere Ebene schneidet? Also, wenn es quasi 3 senkrechte Ebenen gibt (wie Mauern), die von oben betrachtet ein Dreieick bilden. Dann gibt es doch ebenfalls keine Lösungen, obwohl es keine parallele Ebenen gibt.
dungerbroth Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja da hast du recht, den Fall hab ich vergessen Augenzwinkern Es ist also oft nicht auf den ersten Blick zu erkennen, wie viele Lösungen es gibt.
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