Betrag der komplexen Zahl 0 - 1i

29.11.2014, 20:45	neuerNutzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag der komplexen Zahl 0 - 1i Meine Frage: Guten Abend, heute sitze ich an einem kleinen Widerspruch fest. da ich wohl irgendeine Definition/Regel übersehe. Folgendes: Will ich den Betrag der komplexen Zahl $\begin{eqnarray} z = 0 - 1i \end{eqnarray}$ bestimmen, kann ich das auf zwei Wegen machen. 1) $\begin{eqnarray} \|z\| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{(0 + (-1i))(0 + 1i)} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sqrt{(-1i)(1i)} = \sqrt{(-1)(i)(1)(i)} = \sqrt{(-1)(i)^2}= \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \|z\| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2} = \sqrt{0^2 + (-1i)^2} = \sqrt{(-1i)(-1i)} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sqrt{ (-1)^2(i)^2} = \sqrt{i^2} = \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ Und auch wenn $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \end{eqnarray}$ , die Wurzel aus -1 ist ja auch in den komplexen Zahlen nicht definiert (und würde auch keinen Sinn machen, da der Betrag ja die Entfernung zum Ursprung ist und somit positiv sein muss. Da $\begin{eqnarray} \|z\| = \|\overline{z}\| \end{eqnarray}$ , könnte man bei zweiten Fall auch folgendermaßen vorgehen: 2') $\begin{eqnarray} \|\overline{z}\| = \sqrt{Re(\overline{z})^2 + Im(\overline{z})^2} = \sqrt{0^2 + (1i)^2} = \sqrt{(1)(i)(1)(i)} = \sqrt{ (i^2} = \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ Das gleiche Problem. Sind meine Umformungen richtig? Woher kommen dieser Widerspruch? Vielen Dank schonmal Meine Ideen: siehe oben.
29.11.2014, 20:50	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Imaginärteil von $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} bi \end{eqnarray}$ . Da liegt dein Fehler. Liebe Grüße, Guppi12
29.11.2014, 20:52	neuerNutzer	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich! das ich auch immer die offensichtlichsten dinge übersehe danke

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