Ableitung lineare Abbildung trigonometrische Funktionen

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung lineare Abbildung trigonometrische Funktionen
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Probleme:

Sei V die lineare Hülle der Menge M = {sin, cos, cos*sin , sin^2, cos^2} im reellen Vektorraum der Funktionen R => R. Zeigen Sie, dass M linear unabhängig ist und dass die Ableitung eine lineare Abbildung d: V => V
definiert. Finden Sie ihre Abbildungsmatrix bezüglich der Basis M.

Problem 2)
Es sei W die lineare Hülle der Menge M aus dem ersten Problem im komplexen Vektorraum der Funktionen R => C und es sei
N = {1 , e^(ix) , e^(-ix) , e^(2ix) , e^(-2ix)} .
Zeige, dass auch M eine Basis von W bildet, und bestimmen Sie die Übergangsmatrix von M zu N.

Meine Ideen:
Zum ersten Problem:
Ich habe alle Aussagen gezeigt. Ich muss noch zeigen, dass d eine lineare Abbildung ist.
Z.B. gilt doch:
d(cos^2) + d(sin^2) = -2sin*cos + 2sin*cos = 0 = d(1) = d(cos^2 + sin^2)

oder??

Allerdings scheitere ich bei der Wahl anderer Elemente, z.B. bei
d(sin*cos + sin) = .... = d(sin*cos) + d(sin)
oder d(sin) + d(cos) = ... = d(sin + cos)
Müssen irgendwo die Additionstheoreme verwendet oder andere Identitäten verwendet werden. Die Linearität bzgl. Skalarmultiplikation ist einfach zu zeigen: d(a*f) = a*d(f) für alle f aus M. Ich scheitere lediglich an dem Nachweis der Linearität bzgl. Addition.

Zu Problem 2)Ich soll zeigen, dass M auch eine Basis von W. W ist aber per definitionem die lineare Hülle von M....
habe ich diese Aussage nicht schon in Problem Nummer 1 gezeigt oder verstehe ich die aufgabenstellung nicht.

Und... wie bildet man die Übergangsmatrix zwischen M und N. Offenbar muss ich mir die Einträge so wählen, sodass die Basis von M auf die Basis von N transformiert, oder ist dies ein falscher Ansatz??

Vielen Dank für Eure Hilfe!!!!
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung lineare Abbildung trigonometrische Funktionen
Ich vermute mal, dass du die Linearität von d auf dem Vektorraum aller differenzierbaren reellen Funktionen voraussetzen darfst. Zu zeigen ist dann, dass es sich bei d um einen Endomorphismus von V handelt, grob gesagt, dass die Ableitung nicht aus V herausführt.

zu 2) Der Unterschied liegt im betrachteten Skalarkörper. Betrachtet man als Vektorraum über , dann sind die Zahlen 1 und i linear unabhängig. Betrachtet man als Vektorraum über , sind die vermöge i1-i=0 linear abhängig.

Es geht also darum zu zeigen, dass hier nichts derartiges passiert.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen,
der Reihe nach:
Zitat:
Zum ersten Problem:
Ich habe alle Aussagen gezeigt. Ich muss noch zeigen, dass d eine lineare Abbildung ist.
Z.B. gilt doch:
d(cos^2) + d(sin^2) = -2sin*cos + 2sin*cos = 0 = d(1) = d(cos^2 + sin^2)

oder??

Allerdings scheitere ich bei der Wahl anderer Elemente, z.B. bei
d(sin*cos + sin) = .... = d(sin*cos) + d(sin)
oder d(sin) + d(cos) = ... = d(sin + cos)
Müssen irgendwo die Additionstheoreme verwendet oder andere Identitäten verwendet werden. Die Linearität bzgl. Skalarmultiplikation ist einfach zu zeigen: d(a*f) = a*d(f) für alle f aus M. Ich scheitere lediglich an dem Nachweis der Linearität bzgl. Addition.


Hier stolperst du aber über einen Kieselstein. Die Linearität bzgl. Addition gilt ganz allgemein für die Ableitung, denn


Zitat:

Zu Problem 2)Ich soll zeigen, dass M auch eine Basis von W. W ist aber per definitionem die lineare Hülle von M....
habe ich diese Aussage nicht schon in Problem Nummer 1 gezeigt oder verstehe ich die aufgabenstellung nicht.

Ich vermute sehr stark, dass dies ein Druckfehler ist und du zeigen sollst, dass auch N eine Basis von W ist. Sonst ergäbe nämlich die Frage mit der Übergangsmatrix keinen Sinn.

Zitat:
Und... wie bildet man die Übergangsmatrix zwischen M und N. Offenbar muss ich mir die Einträge so wählen, sodass die Basis von M auf die Basis von N transformiert, oder ist dies ein falscher Ansatz??

Ja!

LG Dustin
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal vielen Dank für eure Antworten.

Zu Dustin:

Na gut, wenn die Ableitung die Linearität als Eigenschaft besitzt, darf ich das "einfach so" niederschreiben, verstehe ich dich richtig?? Aber ich soll doch die Linearität der Ableitung bzgl. Addition zeigen. Das kann ich doch nicht tun, indem ich die Linearität als bekannt voraussetze. In dem von mir vorgerechneten Beispiel hat das bspw. ohne Ausnutzung der Linearität funktioniert.

Ja, ich hatte mir auch gedacht, dass es sich hierbei um einen Druckfehler auf meinem Übungszettel handelt. Vielen Dank für diesen Hinweis!!

Wie zeige ich nun, dass N eine Basis von W ist? Im Grunde erfolgt der Beweis analog zum ersten Problem. Wähle Lambda i aus R, sodass die Linearkombination der Lambda i und den Elementen aus N Null ergibt.
Dann muss ich daraus folgern, dass alle Lambda i "0" sein müssen, also nur die triviale Lösung gilt.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In dem von mir vorgerechneten Beispiel hat das bspw. ohne Ausnutzung der Linearität funktioniert.

Das ging ja nur, weil sin²+cos²=1 ist. Bereits bekannte Eigenschaften muss man natürlich nicht jedes Mal neu beweisen! Du musst lediglich erwähnen, dass die additive Linearität der Ableitung gilt.
Was man wirklich beweisen muss, ist, dass es sich um eine Abbildung V-->V handelt (wie von URL schon erwähnt). Sonst würde nämlich die Frage nach der Abbildungsmatrix keinen Sinn ergeben.

Zitat:
Wie zeige ich nun, dass N eine Basis von W ist? Im Grunde erfolgt der Beweis analog zum ersten Problem. Wähle Lambda i aus R, sodass die Linearkombination der Lambda i und den Elementen aus N Null ergibt.
Dann muss ich daraus folgern, dass alle Lambda i "0" sein müssen, also nur die triviale Lösung gilt.


Schön, dass du dir die Frage schon selbst beantwortest Augenzwinkern Das ist dann schonmal die lineare Unabhängigkeit von N. Zu zeigen bleibt dann außerdem noch, dass N W aufspannt, d.h. dass die Funktionen in M auch als Linearkombination der Funktionen in N darstellbar sind. Dann ist N linear unabhängig und spannt W auf, ist also per definition eine Basis von W.

LG Dustin
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