Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen

29.11.2014, 21:17

btsky

Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen

Hallo liebes Matheboard,

ich studiere seit diesem Semester Physik und habe Problem mit der Fourier Transformation.
Vielleicht erstmal die Aufgabe, bei der ich gerade nicht weiter weiß:

Entwickeln Sie die Funktion f : [-1,2], f(x) = e^x in eine Fourierreihe.

Ich bin mir in dem Gebiet noch sehr unsicher und weiß noch nicht einmal, ob ich das Prinzip der Fouriertransformation überhaupt richtig verstanden habe.
Ist es nicht so, dass man hier einen Ausschnitt von der Funktion f(x) hat, eben in dem Intervall von -1 bis 2 und diesen Ausschnitt periodisch fortsetzt, sodass es ähnlich aussieht, wie dieses Bild:
[attach]36255[/attach]:

Und dies beschreibt man mit einer neuen Funktion, die aus einer Summe von "cos" und "sin" Funktionen zusammengesetzt sind, was dann die Fourierreihe ist? Und die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} F(x)= a_0/2 +\sum\limits_{k=1}^\infty [a_k*cos(2*\pi*k*f_0*x)+b_k*sin(2*\pi*k*f_0*x)] \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt nur leider keine Ahnung, was ich damit anfangen soll. Muss ich jetzt die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ rausfinden und damit habe ich die Aufgabe? Wir hatten in der Vorlesung auch etwas in der Form mit $\begin{eqnarray*} e^{i*k*x} \end{eqnarray*}$ Ist das einfach nur eine andere Schreibweise? Aber wieso kommt die Imaginäre Einheit denn da vor?

Kann mir irgendwer bei meinen Verständnisfragen und der Aufgabe helfen?

lg btsky

29.11.2014, 22:26

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Du hast die reelle Fourierreihe aufgeschrieben. Der Wert von $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ hängt übrigens von der Periodenlänge deiner Funktion ab.
Benutzt man $\begin{eqnarray*} \cos u = \frac {e^{iu}+e^{-iu}}{2}, \sin u = \frac {e^{iu}-e^{-iu}}{2i} \end{eqnarray*}$ kann man daraus die komplexe Fourrierreihe herleiten und umgekert.

Die Aufgabe besteht in der Tat darin, die Fourierkoeffizienten zu finden. Deren Berechnungsformel habt ihr sicher in der Vorlesung behandelt.

30.11.2014, 01:52

btsky

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Super, dankeschön.
Den Zusammenhäng zwischen reeller und komplexer Fourierreihe hätte ich mir eigentlich denken können.
Ist denn mein generelles Verständnis für die Fourierreihe soweit richtig?

Du meinst sicher die Formeln hier:
$\begin{eqnarray*} a_0= \frac{2}{T} \int_{t=0}^T f(x)dx \\ a_k= \frac{2}{T} \int_{t=0}^T f(x) \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x) dx ~ 1 \leq k < \infty \\ b_k= \frac{2}{T} \int_{t=0}^T f(x) \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x) dx ~ 1 \leq k < \infty \end{eqnarray*}$

Wenn ich z.B. für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ das mit meinen Angaben mache:

$\begin{eqnarray*} a_k= \frac{2}{3} \int_{-1}^2 f(x) \cdot cos(\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k \cdot x) dx \\ \\ =\frac{e^2 \cdot (cos(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot k) + \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k \cdot sin(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot k))}{\frac{4}{9} \cdot \pi^2 \cdot k^2 + 1 }-\frac{e^{-1} \cdot (cos(-\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k) + \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k \cdot sin(-\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k))}{\frac{4}{9} \cdot \pi^2 \cdot k^2 + 1 } \end{eqnarray*}$

Und dann das gleiche mit $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ machen und das dann in die Formel aus meinem ersten Beitrag einsetzen und das wäre dann die Fourierreihe für e^x auf diesem Intervall und die Aufgabe wäre gelöst?

30.11.2014, 01:53

btsky

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Mir fällte gerade auf, dass ich die Integrationsgrenzen doch bestimmt um 1 verschieben kann, von [0,3] ... dann würde einiges wegfallen, sehe ich gerade. Aber kann ich das einfach machen?

30.11.2014, 11:19

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Du hast bei a_0 einen Faktor 2 zu viel.
Wenn du die Integrationsgrenzen wie vorgeschlagen verschiebst, ist aber nicht mehr einfach f(x)=exp(x). Bedenke die periodische Fortsetzung.
Deine Lösung habe ich nicht nachgerechnet. Deutlich einfacher wäre übrigens hier die komplexe Fourierreihe zu verwenden, dann musst du nur Exponentialfunktionen integrieren. Dachte du würdest das ohnehin so machen, weil in der Vorlesung so dran.

30.11.2014, 13:06

btsky

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Du meinst, ich soll statt $\begin{eqnarray*} a_0= \frac{2}{T} \int_{t=0}^T f(x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0= \frac{1}{T} \int_{t=0}^T f(x)dx \end{eqnarray*}$ verwenden?

Also ich habe das jetzt so gemacht, dass ich die Funktion $\begin{eqnarray*} e^{x-1} \end{eqnarray*}$ über [0;3] integriert habe, statt $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ über [-1;2]... dann müsste es doch wieder stimmen. Wobei ich dann aufpassen muss, dass wenn ich die Fourierformel aufschreibe, ich wieder -1 bei cos und sin abziehe, das heißt ich schreibe:

$\begin{eqnarray*} F(x)= a_0/2 +\sum\limits_{k=1}^\infty [a_k \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x \textcolor{red}{-1})+b_k \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x \textcolor{red}{-1})] \end{eqnarray*}$

statt:

$\begin{eqnarray*} F(x)= a_0/2 +\sum\limits_{k=1}^\infty [a_k \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)+b_k \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)] \end{eqnarray*}$

Und komme dann auf die Fourierreihe hier:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{3}\cdot \left(e^2-\frac{1}{e}\right) +\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{e^2-\frac{1}{e}}{\frac{4}{9} \cdot \pi^2 \cdot k^2 +1} \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x-1)\right)+ \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\frac{1}{e}-e^2}{\frac{4}{9} \cdot \pi^2 \cdot k^2 +1} \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x-1)\right) \end{eqnarray*}$

Habe das jetzt schon alles gerechnet, nachdem du mir den Tipp gegeben hast, das mit der komplexen Reihe zu machen. Werde das aber auch noch ausprobieren. Ein bisschen mehr Übung kann ja nicht schaden.

Danke nochmal!

30.11.2014, 13:30

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
a_0 ist jetzt richtig.
Du hast zur Berechnung der Fourierkoeffizienten eine Substitution gemacht. Das ist ok (wenn du im Integranden dann auch cos(..(x-1)) bzw. entsprechenden Sinus stehen hast und nicht nur exp(x-1)).
In der Fourierreihe selber hat das -1 dann aber nichts verloren. Dort bleibt es bei cos(2\pi kx/3) usw.

30.11.2014, 13:53

btsky

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen
Habe das -1 im cos und sin der integranden natürlich vergessen, werde das also nochmal korrigieren.

Bin gerade dabei, das ganze mit der komplexen Fourrierreihe zu machen, habe da erst ganz normal die Funktion e^x benutzt und von -1 bis 2 integriert. Mein $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ist dann nur etwas lang und ich denke, dass das ganze hier auch wieder schöner aussieht, wenn ich von 0 bis 3 integriere und die Funktion wieder zu $\begin{eqnarray*} e^{x-1} \end{eqnarray*}$ umschreibe. Ich denke analog zu der reellen Fourierreihe wird dann in der komplexen Reihe beim $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x} \end{eqnarray*}$ auch nichts geändert.
Sollte der Integrand von $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ dann statt
$\begin{eqnarray*} e^x \cdot e^{i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x} \end{eqnarray*}$

so aussehen:
$\begin{eqnarray*} e^{x-1} \cdot e^{i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot (x-1)} \end{eqnarray*}$
?

Dann wie gehabt von 0 bis 3 integrieren, damit ich ein $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ erhalte und das dann in die Gleichung für die komplexe Fourier Reihe einsetzen.

30.11.2014, 14:06

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RE: Fourierreihe von e^x und Verständnisfragen

Zitat:

Habe das -1 im cos und sin der integranden natürlich vergessen, werde das also nochmal korrigieren.

Vermutete ich schon so smile

Ich glaube nicht, dass deine Substitution viel bringt, aber probiers ruhig aus.

Bei den Funktionen $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x} \end{eqnarray*}$ ändert sich nichts, das ist richtig.

Sollte der Integrand von $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ dann statt
$\begin{eqnarray*} e^x \cdot e^{\textcolor{red}{-}i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x} \end{eqnarray*}$

so aussehen:
$\begin{eqnarray*} e^{x-1} \cdot e^{\textcolor{red}{-}i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot (x-1)} \end{eqnarray*}$
Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten gehört noch ein Minus in den Exponenten.
Und nicht vergessen, dass jetzt $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt.

30.11.2014, 15:10

btsky

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Also, dass die Substitution nicht viel bringt, stimmt auf jeden Fall. Habe es also doch mit dem Intervall [-1;2] zu Ende gemacht und habe raus:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac{1}{3} \int_{-1}^2 e^x \cdot e^{-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k \cdot x} = \frac{1}{3} \int_{-1}^2 e^{x \cdot \left(1-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow c_k = \frac{1}{1-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k} \cdot \left(e^{2-\frac{4}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}-e^{-1+\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}\right) \end{eqnarray*}$

Das eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \sum\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k} \cdot \left(e^{2-\frac{4}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}-e^{-1+\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}\right) \cdot e^{-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k \cdot x} \end{eqnarray*}$

Bei der reellen Reihe ist mir aufgefallen, dass wenn ich bei der Substitution beachte, dass ich auch im sin und cos der Integranden das x durch x-1 ersetze, sich das alles später nicht mehr so schön aufhebt und der Term gigantisch wird. Deswegen habe ich das jetzt erstmal gelassen.
Wenn ich das trotzdem gemacht hätte und alles vernünftig eingesetzt habe, würde das F(x) der reellen Reihe dann genau das gleiche aussagen wie die komplexe Reihe?

30.11.2014, 17:38

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Du hast schon wieder an den Funktionen herumgefummelt unglücklich

$\begin{eqnarray*} F(x) = \sum\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k} \cdot \left(e^{2-\frac{4}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}-e^{-1+\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k}\right) \cdot e^{\textcolor{red}{+}\frac{2}{3} \cdot i \cdot \pi \cdot k \cdot x} \end{eqnarray*}$
Das Minus gehört nur in den Integranden.

Deine Substitution ist nicht falsch, wenn du das meinst. Korrekt gerechnet liefert auch sie die Fourierreihe.

30.11.2014, 18:41

btsky

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Ups... hab das sogar auf meinem Schmierblatt mit + und nicht mit - im Exponenten stehen. Hammer

Was ich meinte ist, dass ich die Substitution in dem Sinne falsch gemacht habe, dass ich das x-1 im sin und cos der Integranden vergessen habe, also

$\begin{eqnarray*} a_k= \frac{2}{T} \int_0^3 e^{x\textcolor {red}{-1}} \cdot cos \left(\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k \cdot x\right) dx \end{eqnarray*}$

statt

$\begin{eqnarray*} a_k= \frac{2}{T} \int_0^3 e^{x\textcolor {red}{-1}} \cdot cos \left(\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot k \cdot ( x\textcolor {red}{-1}) \right) dx \end{eqnarray*}$

geschrieben habe.

Ansonsten denke ich habe ich jetzt ein viel besseres Verständnis von der Fourierreihe, Zusammenhang von komplexer und reeller und wie man die Phasen verschiebt.
Danke für deine Hilfe! smile

30.11.2014, 18:45

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In deinen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten habe ich keinen Fehler gefunden.
Sieht gut aus Freude

Bitte, gerne!

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