Komplex-Rationale-Funktion

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StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
Komplex-Rationale-Funktion
Meine Frage:
Ich begrüße alle ganz herzlich.

Ich tue mich mit folgender Aufgabe schwer:

Es sei eine rationale Funktion definiert durch:

mit

Skizzieren Sie bzgl. f das Abbild der imaginären Achse und begründen Sie Ihre Skizze.

Meine Ideen:
Vorweg weiß ich einfach nicht was mit Abbild gemeint ist.

Da unser Professor ein ziemlich großen Wert auf Skizzen und Skizzierungen legt, muss ich das einfach üben, denn es bereitet mir immer Schwierigkeiten. Man darf ja in der Klausur auch keinen Taschenrechner benutzen.

Wie soll ich dann dies machen? Ich meine Wertetabelle schön und gut, aber eig kann ich ohne Kurvendiskussion nichts zeichnen, wenn ich nicht weiß wo Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen sind?

Zurückkommend was soll ich jetzt genau zeichnen?

Danke schon mal!

Liebe Grüße,

Anja
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Du machst es Dir viel zu schwer.
Es ist vom Abbild der imaginären Achse die Rede. Es geht also einzig und alleine um die Frage, was die Funktion f mit den Zahlen macht, die auf dieser Achse liegen.
Dazu musst Du Dir natürlich erst einmal überlegen, was die "imaginäre Achse" ist und wie sie sich als Gleichung z=... darstellen lässt. Danach wendest Du auf die rechte Seite dieser Gleichung die Funktion an, um das Bild zu bestimmen.
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Ja die imaginäre Achse ist die reelle y-Achse. Wie sie sich als Gleichung z=... darstellen lässt? Dann wende ich auf der rechten Seite der Gleichung die Funktion an um das Bild zu bestimmen? Wie wende ich eine Funktion an? Sry für die dummen Gegenfragen, aber ich kann leider deine Tipps noch nicht verwerten.

Aber herzlichen Dank für die Antwort!

Anja
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion ordnet jedem Element des Definitionsbereichs einen Wert im Wertebereich zu, das sollte aus der Schule bekannt sein und wird dort ja auch für reelle Funktionen f(x) angewendet. Jetzt hast Du es mit einer komplexen Funktion zu tun, d.h. die Werte sind komplexe Zahlen. "Eine Funktion auf eine Menge anwenden" heisst die Bilder dieser Menge zu bestimmen.

Nehmen wir mal an Du hättest die Funktion f(z)=z-i, dann wäre f(i+1)=i+1-i=1 und somit das Bild von i+1 gleich 1. Um dieses Bild zu ermitteln wurde die Funktion auf die Zahl i+1 angewendet.

Bei der Frage wie man die imaginäre Achse als Gleichung schreibt, kann ich Dir leider nicht helfen ohne die Lösung zu verraten. Welche Zahlen liegen denn auf dieser Achse? Wie lassen sie sich allgemein darstellen?

Ich bin nun aber im Bett, also kann ich Dir erst morgen weiterhelfen, falls noch nicht klar ist, was gemeint ist, oder wie man die Aufgabe angehen soll. Sollte noch jemand anderes wach sein, der sich mit der Aufgabe befassen möchte: Nur zu.
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Eine Funktion ordnet jedem Element des Definitionsbereichs einen Wert im Wertebereich zu, das sollte aus der Schule bekannt sein und wird dort ja auch für reelle Funktionen f(x) angewendet. Jetzt hast Du es mit einer komplexen Funktion zu tun, d.h. die Werte sind komplexe Zahlen.

Das ist klar. Danke!

Zitat:
Original von Helferlein
Eine Funktion auf eine Menge anwenden" heisst die Bilder dieser Menge zu bestimmen.

Das ist für mich neu, aber verständlich.

Zitat:
Original von Helferlein
Nehmen wir mal an Du hättest die Funktion f(z)=z-i, dann wäre f(i+1)=i+1-i=1 und somit das Bild von i+1 gleich 1. Um dieses Bild zu ermitteln wurde die Funktion auf die Zahl i+1 angewendet.

Das ist auch soweit klar.

Also die imaginäre Achse sind ja die "Punkte" eine komplexen Zahl

Also: ist dies mit der Gleichung gemeint?

Ich muss die Funktion auf eine Menge anwenden was ja heißt die Bilder dieser Menge zu bestimmen, aber wie fange ich da an die Werte einzusetzen, und wie viele?

Anja
Rabbi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudentinnenNeuling
...
Also die imaginäre Achse sind ja die "Punkte" eine komplexen Zahl
...

unglücklich Nö !

Für die imaginäre Achse gilt x = 0 ! Also



** EDIT(Helferlein) Lösung entfernt. Die soll sich StudentinnenNeuling schon selber erarbeiten, auch wenn Du keine Zwischenschritte genannt hast. **
 
 
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rabbi
** EDIT(Helferlein) Lösung entfernt. Die soll sich StudentinnenNeuling schon selber erarbeiten, auch wenn Du keine Zwischenschritte genannt hast. **

Wunderbar.

Zitat:
Original von Rabbi
Zitat:
Original von StudentinnenNeuling
...
Also die imaginäre Achse sind ja die "Punkte" eine komplexen Zahl
...

unglücklich Nö !

Für die imaginäre Achse gilt x = 0 ! Also



Ja schon klar dass x=0 sein muss. Ich habe auch geschrieben, dass die komplexe Zahl so definiert ist und alles was von i mal i.was verschieden ist, ist die reelle Achse.

Hmm was soll ich jetzt aber damit? Ich kann nach y umstellen, aber was soll mir das jetzt sagen? Den Wertebereich bestimmen? Aber was soll ich dann an die Stelle der Pünktchen setzen? Ich meine



Aber was soll ich rechts an der Stelle der Pünktchen setzen ich meine gleich kann es sein aber größer? verwirrt Aber ob y dann wirklich größer gleich ist? Weiß ich auch nicht.

Anja
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu rabbi das y beschränken will, kann ich Dir nicht sagen. Die imaginäre Achse besteht aus allen Zahlen der Form z=iy. Das musst Du in die Funktion einsetzen.
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Hmm super Big Laugh

also

Das ist die Anwendung, aber was sagt mir dies jetzt? verwirrt

Anja
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nichts. Du musst den Nenner erst einmal reell machen.
Rabbi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Wozu rabbi das y beschränken will, kann ich Dir nicht sagen. ...

@Helferlein
Das brauchst Du auch nicht.
Denn es dürfte jedem klar sein (außer Dir und der TEin), dass die Punkte für stehen.
Teufel
Wink
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Ahso okay kein Problem.

also

Aber nun was sagt mir dies jetzt? verwirrt

Anja
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rabbi
[quote]Original von Helferlein
Denn es dürfte jedem klar sein (außer Dir und der TEin), dass die Punkte für stehen.
Teufel
Wink

Ist dieser Tonfall in deinem Auge angemessen, oder wie findest du, andere Nutzer so eine Umgangsart?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Du hast nun das Bild herausgefunden, nämlich alle komplexen Zahlen der Bauart .
Der Betrag dieser Zahlen ist konstant (Klar warum?) und der Realteil variiert in bestimmten Grenzen. Daraus lässt sich das Aussehen folgern.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Rabbi,

bitte werfe einmal einen Blick in unser Prinzip "Mathe online verstehen!", vor allem was das Einmischen in bereits laufende Threads betrifft. Es ist nicht gern gesehen, wenn sich jemand in einen bereits laufenden Thread einschaltet, das führt in der Regel nur zur Verwirrung.
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Guten morgen!

Darf ich mal, als stiller Mitleser und -rechner, so von der Seite her, eine neugierige Frage loswerden:
Zitat:
Original von Helferlein
Der Betrag dieser Zahlen ist konstant (Klar warum?)

Natürlich ist dieser Tip Gold wert - aber wie kommt man darauf (durch Angucken = Erfahrung?)?
verwirrt
mfG!
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Zitat:
Original von Helferlein
Du hast nun das Bild herausgefunden, nämlich alle komplexen Zahlen der Bauart .

Stimmt! Freude

Zitat:
Original von Helferlein
Der Betrag dieser Zahlen ist konstant (Klar warum?) und der Realteil variiert in bestimmten Grenzen. Daraus lässt sich das Aussehen folgern.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist ja:



Wieso ist das konstant? Das Aussehen Folgern? mhm verwirrt

Anja
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Guten Morgen!

Darf ich, aushilfweise, den Film mal einen Meter zurückspulen?

Es gibt hier zweierlei Sorten komplexer Zahlen:
im Definitionsbereich die (imaginäre Achse) und
im Wertebereich EDIT und die Aussage von Helferlein bezog sich auf , genauer .
So, bin wieder wech - schönen Tag noch! smile

EDIT Fehler korrigiert
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Achso und wir behandeln ja nur den imaginären Teil, sprich der Betrag ist dann konstant, okay. Freude

Danke

Anja
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Hast Du schon wirklich schon nachgewiesen, daß der Betrag | f | konstant ist? verwirrt
Ich hatte mich oben leider vertippt, richtig ist: f = Re(f) + i Im(f)
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Nachgewiesen? Nein verwirrt
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Zitat:
Original von StudentinnenNeuling
Skizzieren Sie bzgl. f das Abbild der imaginären Achse und begründen Sie Ihre Skizze.


Zitat:
Original von Helferlein
Du hast nun das Bild herausgefunden, nämlich alle komplexen Zahlen der Bauart .
Der Betrag dieser Zahlen ist konstant (Klar warum?) und der Realteil variiert in bestimmten Grenzen. Daraus lässt sich das Aussehen folgern.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Den Nachweis, dass konstant ist, führt man am einfachsten, indem man bemerkt, dass die imaginäre Achse gerade die Mittelsenkrechte zwischen 1 und -1 ist. Nachrechnen geht natürlich auch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. man sieht es in der Rechnung eigentlich noch einfacher am "Original":

Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Stimmt, und das beantwortet meine Zwischenfrage oben teilweise, wie man zu der Idee kommt ...
Ansonsten, Anja: Wie sieht's aus? smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rabbi
@Helferlein
Das brauchst Du auch nicht.
Denn es dürfte jedem klar sein (außer Dir und der TEin), dass die Punkte für stehen.


Guten Abend Rabbi,

es ist dir vielleicht nicht aufgefallen, aber deine Bemerkung wirkt auf andere schon etwas herablassend und überheblich. Wir pflegen hier im Board einen respektvollen Umgang miteinander.
Schau dir in dem Punkt am besten einfach mal unser Boardprinzip im Abschnitt Umgangston an.
Bitte nimm dich doch, was solche Äußerungen betrifft, in Zukunft etwas zurück.

Mal ganz abgesehen davon benutzt du eine in der Mathematik unübliche Notation für das, was du ausdrücken möchtest. Ich hätte es auch nicht verstanden.

Viele Grüße,
Guppi12
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hausmann
Ansonsten, Anja: Wie sieht's aus? smile

Schwammrig, noch.

Zitat:
Original von URL
dass die imaginäre Achse gerade die Mittelsenkrechte zwischen 1 und -1 ist.

Mittelsenkrechte zwischen 1 und -1?

Zitat:
Original von HAL 9000
am "Original":

Ich sehe da nur bis auf eine angewendete Betragsregel das Gleiche, leider unglücklich

Danke Euch allen,

Anja
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ... am Ende der Formel sollte ja auch nicht zum Einstellen des Denkens anregen, sondern zum Weiterrechnen:

. unglücklich
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ja, das ... am Ende der Formel sollte ja auch nicht zum Einstellen des Denkens anregen, sondern zum Weiterrechnen

Ahso ja und ich wusste nicht worauf es hinauslaufen sollte. Ja da wurde dann einfach die Definition des Betrages einer komplexen Zahl ausgenutzt und joa.

Anja smile
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Zitat:
Original von Helferlein
Danach wendest Du auf die rechte Seite dieser Gleichung die Funktion an, um das Bild zu bestimmen.

Das habe ich ja jetzt eig getan. Aber fertig bin ich ja noch lange nicht. Skizzieren muss ich f und die Skizze begründen. verwirrt
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Als mitrechnender Leser habe ich mir paar interessante Punkte auf der y - Achse rausgesucht (-1, 0, 1) und geguckt, wo das Bild auf dem z - Kreis hinkommt.
Nur mal so ins unreine. smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplex-Rationale-Funktion
Zitat:
Original von Helferlein
Der Betrag dieser Zahlen ist konstant ... und der Realteil variiert in bestimmten Grenzen.

Wo liegen denn alle Zahlen mit dem Betrag 1 und welche können dies sein, wenn sich der Realteil von -1 bis 1 beliebig ändern kann?
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der reellen Achse bei 1?
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »

Nur zur Erinnerung
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und der Realteil ist Null und der Imaginärteil wurde soweit vereinfacht bis er 1 ergeben hat verwirrt Oh das war gar nicht der Gleiche Imaginärteil geschockt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm es mir nicht übel, aber langsam frage ich mich, ob Du von der Materie zumindest ein wenig Ahnung hast, oder nur wild herum rätst.
Wenn der Realteil von -1 bis 1 variiert, wie sollen die Punkte dann auf der reellen Achse bei 1 liegen verwirrt
Selbst wenn sich deine Aussage auf den Betrag 1 bezieht. Was hat der denn bitteschön mit der reellen Achse zu tun? i zum Beispiel hat auch den Betrag 1 und liegt nicht einmal auf dieser Achse.

Es ist nicht schlimm, wenn man eine Aufgabe nicht versteht. Das ist sogar normal, wenn das Thema neu ist. Man sollte sich dann aber zumindest mit den Grundlagen befassen und versuchen, diese sinnvoll einzubringen. Ich für meinen Teil werde mich mit weiteren Lösungstips zurückhalten, bevor ich nicht erkenne, dass Du gewillt bist, die Aufgabe eigenständig zu bearbeiten und Dich nicht nur zur Lösung tragen lässt.
Hausmann Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einem gewissen Verständnis als Ebenso-Anfänger vielleicht noch ein Versuch:

Es geht hier praktisch um zwei verschiedene komplexe Gauß-Ebenen, wie zwei Blätter Papier, die parallel übereinander liegen. Auf dem unteren Blatt liegen die Ursprungs-Punkte der Abbildung (in unserem Beispiel auf der Imaginären Achse z = iy) und auf dem oberen Blatt erscheint zu jedem dieser Ursprungspunkte ein komplexer Abbildungspunkt f.

Wir wissen inzwischen, daß die f auf einem Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt liegen und zur Veranschaulichung greifen wir mal ein Beispiel (siehe Formel oben)

y = 1, also (0/1) ---> f = ?? wo liegt das Bild von 0/1? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ja auch direkt die Polardarstellung der Funktionswerte, die Orte auf dem Einheitskreis rauszufinden:

Es ist und bei Spiegelung an der imaginären Achse dann , es folgt für den Quotienten

.

Für durchläuft das gesamte offene Intervall , demnach durchläuft das linear transformierte das offene Intervall .
StudentinnenNeuling Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hausmann
y = 1, also (0/1) ---> f = ?? wo liegt das Bild von 0/1? smile

Ja bei 1? Das Bild ist ja nichts anderes als eine Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.


Zitat:
Original von HAL 9000
Vielleicht hilft ja auch direkt die Polardarstellung der Funktionswerte, die Orte auf dem Einheitskreis rauszufinden:



Für durchläuft das gesamte offene Intervall , demnach durchläuft das linear transformierte das offene Intervall .

Hm. Danke. Wieso denn gerade
Arctan hat doch eine ähliche Struktur wie
Was soll denn da von laufen verwirrt

Ich würde ja gerne fertig werden, aber es ist ja schon neuer Stoff da traurig
Und ich wäre ja auch lieber fertig als mich, Euch und die Forumsgemeinschaft zu nerven.

Anja
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StudentinnenNeuling
Hm. Danke. Wieso denn gerade

Ich hab mir allergrößte Mühe bei der Formulierung des Satzes

Zitat:
Original von HAL 9000
Für durchläuft das gesamte offene Intervall , demnach durchläuft das linear transformierte das offene Intervall .

gegeben. Wenn du jetzt so nachfragst, als hätte ich dieses Intervall überhaupt nicht begründet, dann ist das ziemlich enttäuschend, geradezu ein Affront. unglücklich

Denk einfach mal wirklich gründlich drüber nach, was passiert, wenn man ein Intervall linearen Transformationen (Dehnung/Verschiebung) unterzieht.
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