Definition Riemann-Integral und Integrabilitätskriterium

29.11.2014, 17:16

nur

Auf diesen Beitrag antworten »

abgespalten von Zerlegung Riemann - Guppi12

Wink

Wink

Hallo,

hab mit der Aufgabe ebenfalls Probleme (wie vermutlich noch ca. 200 weitere Studenten, was ich so höre Augenzwinkern

Augenzwinkern

), und erstmal danke an Kreis für den Thread...

Aber ich habe mal eine Frage: Wir hatten die ganzen Sätze / Definitionen von da oben noch garnicht in der Vorlesung (bzw. Ober / Untersummen noch garnet), müsste man die nicht eigentlich auch alle erstmal beweisen? Ich mein, ist ja Mathe, nicht Physik ^^

-------------------------------------------------------------------------------

Antwort von Guppi12 aus dem anderen Thread auf diese Frage:

Zitat:

Aber ich habe mal eine Frage: Wir hatten die ganzen Sätze / Definitionen von da oben noch garnicht in der Vorlesung (bzw. Ober / Untersummen noch garnet), müsste man die nicht eigentlich auch alle erstmal beweisen? Ich mein, ist ja Mathe, nicht Physik ^^

Naja, wenn man etwas Beweisen soll, muss man zunächst mal mindestens Definitionen der Objekte haben, um die es geht. Anders kann man natürlich nichts beweisen. Diese werdet ihr aber sicherlich auch haben, sonst könnt ihr die Aufgabe ja garnicht aufbekommen haben.

Der einzige Satz, der oben steht, ist, dass Ober- bzw. Untersummen kleiner bzw. größer werden, wenn man von einer Zerlegung zu einer Verfeinerung übergeht - und das ist nicht soo schwer zu beweisen Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2014, 23:08

rumpel12

Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm, warum kann man denn nicht einfach $\begin{eqnarray*} sup_Z (U((Z, f))=inf_Z (O(Z, f)) \end{eqnarray*}$ nehmen und daraus dann schließen: $\begin{eqnarray*} sup_Z (U(Z, f))> inf_Z (O(Z, f))- \epsilon \end{eqnarray*}$ Das lässt sich doch einfach umformen nach: $\begin{eqnarray*} inf_Z (O(Z, f))- sup_Z (U(Z,f))< \epsilon \end{eqnarray*}$ Warum muss man mit den Verfeinerungen arbeiten?

29.11.2014, 23:13

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} inf_Z (O(Z, f))- sup_Z (U(Z,f))< \epsilon \end{eqnarray*}$

Das kannst du schließen. Aber was bringt dir das? Das ist schließlich nicht, was zu zeigen ist.

Ich würde dich außerdem bitten, innerhalb eines Threads nur einen Namen zu verwenden.

29.11.2014, 23:45

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hatte es bissl eilig und dann keine Zeit mehr einzuloggen etc.

Kann man denn davon nicht auf die Behauptung kommen? Und wenn nein, wie soll man von dem Term mit der Verfeinerung auf die Behauptung kommen? verwirrt

verwirrt

Der wirkt mir noch "weiter entfernt" von der Behauptung...

29.11.2014, 23:49

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kann man denn davon nicht auf die Behauptung kommen?

Doch kann man schon, aber näher dran ist man mit dem Schritt nicht gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei dem, was Kreis gemacht hat (bzw. wonach es mir aussah), ist man immerhin schon vom Supremum bzw. Infimum übergegangen zu einer speziellen Zerlegung Z'. Um zu dieser Zerlegung zu gelangen, muss man übrigens schon verfeinern.

30.11.2014, 00:09

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok... Also nein, ich hab meine Unterlagen (schreibe alles mit, der Dozent bietet nämlich kein Script) nochmal durchgesehen, nada, Riemannsummen kamen da mit keinem Wort vor, weder Definition noch Erklärung. Kann man das nicht auch über Folgen, Grenzwert oder so beweisen? Irgendwas, was ich kenne, wo ich wenigstens weiß, was ich mache? Hab mich zwar auch schon ein wenig versucht eingelesen, aber irgendwie will das net so Recht in mein Hirn...

Was ne Zerlegung ist, hab ich mittlerweile begriffen, aber Ober- und Untersumme sind schon Spanisch, zumindest kann ich mir darunter nichts vorstellen und finde dazu auch keine hilfreiche Seite (ich krieg überall nur die beiden Formeln an den Kopf geschmissen), vor allem: Wenn bei der Obersumme mit dem Infimum eines Intervalls multipliziert wird, bei der Untersumme aber dasselbe mit dem Supremum desselben Intervalls, müsste dann diese Behauptung nicht schon deswegen gelten, weil die Obersumme kleiner als die Untersumme ist, diese Differenz also negativ, das Epsilon aber positiv definiert?

Hilfe

Hilfe

Anzeige

30.11.2014, 00:14

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da Obersumme und Untersumme verwechselt, bei der Obersumme verwendet man die Suprema und bei der Untersumme die Infima.

Ihr müsst doch irgendwie Riemannintegrierbarkeit definiert haben ?!
Wenn ihr das wirklich nicht eingeführt habt, dann geht zu eurem Dozent in die Sprechstunde und sagt: "Hallo Herr xy, wir haben niemals ein Riemannintegral eingeführt, wir können die Aufgabe nicht lösen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2014, 00:24

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hatte mich an der Definitionssammlung oben von Kreis orientiert smile

smile

Riemannintegral hatten wir, die Definition der Riemannintegrierbarkeit auch, aber keine Riemannsummen oder Zerlegung etc. ...

30.11.2014, 00:26

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, du hast Recht. Das steht oben falsch.

Wie lautet denn dann eure Definition der Riemannintegrierbarkeit?

30.11.2014, 00:35

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

"Sei I=[a, b[, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R U { $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ } Dann heißt f: I $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ R Riemann-integrierbar, falls f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R([a, s]) für alle a<s<b und $\begin{eqnarray*} lim_{s \to b, s<b} \int_a^s f(x) dx \end{eqnarray*}$ existiert. Dieser wird dann mit $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx bezeichnet \end{eqnarray*}$ "

Analoges noch für das Intervall andersrum

Edit: Sorry, Tippfehler, und zwar massig

30.11.2014, 00:39

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Definition von uneigentlicher Riemann-Integrierbarkeit, nicht von Riemann-Integrierbarkeit.

Der Teil

Zitat:

falls f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R([a, s]) für alle a<s<b

bedeutet doch gerade, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,s] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar ist. Das muss also vorher schon definiert worden sein. Oder was ist sonst $\begin{eqnarray*} R([a,s]) \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.11.2014, 00:55

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, vorher hatten wir noch den Satz, wo was von Riemann vorkam: Jede stetige Funktion f: [a,b] $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ R ist Riemannintegrierbar, aber C([a,b]) c R([a,b])

Dann sind da noch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Substitutionsregel, partielle Integration gekommen, da kommen aber diese Sachen (Ober, Untersumme, Zerlegung) auch nicht vor...

30.11.2014, 00:58

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich sagte, ihr müsst irgendwo vorherdefiniert haben, was Riemann-integrierbar überhaupt bedeutet. Das muss irgendwo weit vor dem Hauptsatz, Substitutionsregel etc. stehen, denn diese Sätze verwenden den Begriff ja alle schon. Wenn nicht kannst du die Aufgabe nicht lösen.
Wenn das wirklich so sein sollte, war das oben auch kein Scherz, da würde ich wirklich zum Prof gehen.

30.11.2014, 01:14

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dafür ist ein bisschen spät, Montag Morgen müssen wir die Übung ja abgeben.

Ach Scheibenkleister, doch, sehe grade, wir hattens wohl doch kurz, der Grund, warum ichs net hab, ist, dass mir an dem Abend der Kreislauf richtig abgeschmiert ist und ich einfach garnichts mehr mitgekriegt hab (und dann auch früher gegangen bin, hat ja auch so keinen Sinn), hab hier ein paar verschmierte U(Z... gefunden, kompett unleserlich der Kram, die Seite sieht aus wie Malstunde im Affengehege Big Laugh

Big Laugh

Kannst du mir diese Sachen nicht anschaulich erklären, also wie ich mir diese Ober- und Untersumme vorstellen kann?

30.11.2014, 01:32

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, zunächst mal brauchen wir den Begriff der Zerlegung eines Intervalls.

Ist $\begin{eqnarray*} I=[a,b] \end{eqnarray*}$ ein Intervall, so heißt $\begin{eqnarray*} (x_0,...,x_n) \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x_0 = a, x_n=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 < ... < x_n \end{eqnarray*}$ .

Das ist anschaulich eigentlich genau das, was man sich unter einer Zerlegung vorstellt. Man unterteilt das Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ in kleinere Teilintervalle $\begin{eqnarray*} [x_0,x_1], [x_1,x_2],... \end{eqnarray*}$

Die Obersumme einer beschränkten Funktion bezüglich dieser Zerlegung ist jetzt definiert als Summe über die Rechtecksflächen, deren Grundseite die Intervalllängen sind und deren Höhe das Supremum über die Funktionswerte in dem Intervall ist. Oder in Formeln:

$\begin{eqnarray*} O(Z,f) = \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})\sup_{y\in [x_{k-1},x_k]}f(y) \end{eqnarray*}$ .

Analog die Untersumme. Ich kann auch den Wikipediaartikel zum Riemann-Integral empfehlen, der ist ganz gut geschrieben.

Ich werde für heute erstmal zu Bett gehen. Gute Nacht. Wink

Wink

30.11.2014, 11:34

nureinnick

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, dass ist ja im Grunde dasselbe wie in der Schule gelernt, nur präzise ausgedrückt... Und je feiner man nun die Intervalle unterteilt, desto näher müssen sich Ober- und Untersumme kommen, weil jeweils Infinmum und Supremum der einzelnen Teilintervalle sich immer näher kommen müssen für beliebig feine Zerlegungen... Zumindest bei einer stetigen Funktion.

Aber was ist jetzt mit dem Supremum der Untersumme und dem Infimum der Obersumme gemeint? Sind dass die Supremums / Infimums aller einzelnen Teilintervalle summiert oder nur jeweils der größte / kleinste Wert der Gesamtmenge der Ober / Untersumme?

30.11.2014, 13:01

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von nureinnick
Zumindest bei einer stetigen Funktion.

Das git auch für viele nicht-stetigen Funktionen, beispielsweise für die aus dem ersten Beispiel hier. Dieses Beispiel lohnt sich zu durchdenken, da die Stetigkeit an den irrationalen Stellen und die Riemann-Integrierbarkeit u.U. überraschend ist.

Zitat:

Aber was ist jetzt mit dem Supremum der Untersumme und dem Infimum der Obersumme gemeint? Sind dass die Supremums / Infimums aller einzelnen Teilintervalle summiert oder nur jeweils der größte / kleinste Wert der Gesamtmenge der Ober / Untersumme?

Da ist die Frage, was du meinst. In den Ober-/Untersummen werden Suprema/Infima der Teilintervalle benutzt. Letztendlich wird aber das Infimum/Supremum der Ober-/Untersummen für beliebige Zerlegungen gesucht. Nur wenn dieses Infimum aller möglichen Obersummen gleich dem Supremum aller möglichen Untersummen ist, dann ist die Funktion Riemann-integrierbar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »