Doppelpost! Durchschnitt von Standardabweichungen

30.11.2014, 00:50	Helveticus	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt von Standardabweichungen Hallo Ich habe eine Menge aus 1000 Zahlen von welcher ich den Durchscnitt A bilde, die standard deviation stdA und das 95% Konfidenzinterval. Nun habe ich auch noch eine zweite Menge mit 1000 Zahlen von welcher ich den Durchschnitt B, die standard deviation stdB und das 95% Konfidenzinterval bilde. Wenn ich nun von A und B den Durchscnitt nehme (Durchschnitt beider Durchschnitte), kann ich dann für die standard deviation einfach den Durchschnitt von stdA und stdB (Durchscnitt der standard deviations) und für das Konfidenzinterval den Durchscnitt der Konfidenzintervalle nehmen?
30.11.2014, 07:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz und gar nicht: Wenn wir mal von den Stichprobenwerten $\begin{align} x_1,\ldots,x_{2n} \end{align}$ (hier mit n=1000) ausgehen, dann haben wir die Mittelwerte $\begin{align} \bar{x}_A = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \end{align}$ , $\begin{align} \bar{x}_B = \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} x_k \end{align}$ und $\begin{align} \bar{x} = \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{2n} x_k \end{align}$ sowie die Varianzen $\begin{align} \bar{s}_A^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (x_k-\bar{x}_A)^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 - n\bar{x}_A^2 \right) \end{align}$ $\begin{align} \bar{s}_B^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=n+1}^{2n} (x_k-\bar{x}_B)^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{k=n+1}^{2n} x_k^2 - n\bar{x}_B^2 \right) \end{align}$ $\begin{align} \bar{s}^2 = \frac{1}{2n-1} \sum_{k=1}^{2n} (x_k-\bar{x})^2 = \frac{1}{2n-1} \left( \sum_{k=1}^{2n} x_k^2 - 2n\bar{x}^2 \right) \end{align}$ Damit haben wir $\begin{align} \bar{x} = \frac{1}{2} \left(\bar{x}_A + \bar{x}_B\right) \end{align}$ sowie $\begin{align} \sum_{k=1}^{2n} x_k^2 = (2n-1)\bar{s}^2+ \frac{n}{2}\left(\bar{x}_A + \bar{x}_B\right)^2 = (n-1)\left(\bar{s}_A^2+\bar{s}_B^2\right) + n\left(\bar{x}_A^2+\bar{x}_B^2\right) \end{align}$ , was umgestellt $\begin{align} \bar{s}^2 = \frac{1}{2n-1} \left( (n-1)\left(\bar{s}_A^2+\bar{s}_B^2\right) + \frac{n}{2}\left(\bar{x}_A - \bar{x}_B\right)^2 \right) \end{align}$ ergibt. Die Gesamtvarianz hängt also nicht nur von den Ausgangsvarianzen, sondern auch vom Abstand der Mittelwerte der A- und B-Stichproben ab. Das mit dem Konfidenzintervall haut gleich überhaupt nicht hin: Da kann man aus den Intervallen $\begin{align} [L_A,R_A] \end{align}$ und $\begin{align} [L_B,R_B] \end{align}$ für das Konfidenzintervall $\begin{align} [L,R] \end{align}$ allenfalls schließen, dass $\begin{align} L \end{align}$ zwischen $\begin{align} L_A \end{align}$ und $\begin{align} L_B \end{align}$ sowie $\begin{align} R \end{align}$ zwischen $\begin{align} R_A \end{align}$ und $\begin{align} R_B \end{align}$ liegt, mehr nicht ohne Kenntnis der Stichprobenwerte. Wie du da auf die Idee kommst, der Durchschnitt könnte $\begin{align} [L,R] \stackrel{?}{=} [L_A,R_A] \cap [L_B,R_B] \end{align}$ (d.h. falls der Durchschnitt überhaupt nichtleer ist bedeutet das $\begin{align} L=\max\{L_A,L_B\} \end{align}$ und $\begin{align} R=\min\{R_A,R_B\} \end{align}$ ) sein, ist mir ein Rätsel.
30.11.2014, 10:19	Helveticus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Vielen Dank für die Antwort. Muss ich also alle 2000 Werte in ein Array stecken und dann von diesem Array die Standardabweichung und Durchschnitt berechnen?
30.11.2014, 10:38	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe auch: matheraum.de/read?t=1043598
30.11.2014, 12:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sogar dieselbe vorgestanzte Erwiderung auf zwei doch sehr unterschiedlich gestaltete Antworten in beiden Foren. Erbärmlich.
30.11.2014, 13:05	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dem Kommentar von HAL ist nichts hinzuzufügen. Hier wird geschlossen.
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