Nullstellen einer e-Funktion

30.11.2014, 14:46

toto77

Nullstellen einer e-Funktion

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe ein Problem bei einer meiner Aufgaben:
Ich muss die Funktion y=x^(1/x) analysieren, bzw. e^(lnx*(1/X).
Nach meinem Verständniss einer e Funktion kann eine solche Funktion niemals gleich null sein(da e^x niemals gleich null), wenn ich die Funktion plotte (oder in den taschenrechner eingebe), ist sie aber ganz eindeutig (sogar für mehrere Werte) gleich Null. Meine Frage nun: Warum? und wie kann ich das beweisen?
Vielen Dank schonmal !!

Meine Ideen:
0=e^(lnx*(1/x) führt aber zu keinem ergeniss da ln(0) nicht definiert
lim x->0

30.11.2014, 15:59

10001000Nick1

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RE: Nullstellen einer e-Funktion

Zitat:

Original von toto77
Nach meinem Verständniss einer e Funktion kann eine solche Funktion niemals gleich null sein(da e^x niemals gleich null),

Richtig.

Zitat:

Original von toto77
wenn ich die Funktion plotte (oder in den taschenrechner eingebe), ist sie aber ganz eindeutig (sogar für mehrere Werte) gleich Null.

Und an welchen Stellen soll das sein? verwirrt

30.11.2014, 17:03

toto7

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RE: Nullstellen einer e-Funktion
bei x->0 (bei werten ab o,o1)

30.11.2014, 17:09

10001000Nick1

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Für diese x-Werte liegen zwar die Funktionswerte nah an 0, sind aber trotzdem noch positiv. An der geplotteten Funktion kann man das natürlich nicht mehr erkennen.
Da hilft nur noch, selbst zu überlegen, wo/ob die Funktion Nullstellen haben kann. Und das hast du ja oben schon gemacht, mit dem Ergebnis, dass es keine Nullstellen geben kann. smile

30.11.2014, 17:18

toto77

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Hey,
Ja das würde ich auch denken, mein taschenrechner spuckt aber was anderes aus, und man sieht deutlich das die funktion =null ist, wenn man sie plottet.
Wenn ich sie plotte ist sie ebenfalls für negative x definiert, obwohl das eigentlich nicht der fall sein dürfte , da ln(-x) nicht definiert ist unglücklich

Ich bin ziemlich ratlos, probier es selbst aus, sobald ich für x 0,01 einsetze, kommt null raus...

30.11.2014, 17:39

10001000Nick1

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hat an der Stelle 0,01 nicht den Wert 0, sondern $\begin{eqnarray*} f(0,01)=0,01^\frac{1}{0,01}=\left(\frac{1}{100}\right)^{100}=\frac{1}{100^{100}}=10^{-200}. \end{eqnarray*}$ Diese Zahl hat nach dem Komma 199 Nullen und dann eine Eins. Das kann dein Taschenrechner aber nicht anzeigen und rundet deswegen zu Null.

Manchmal definiert man n-te Wurzeln auch für negative Zahlen (zumindest für bestimmte n, für gerades n funktioniert das jedenfalls nicht); ich denke aber, diese Definition ist nicht sonderlich weit verbreitet, normalerweise sind Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert.
Beispielsweise $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-27}=-3 \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{x}=\sqrt[x]{x} \end{eqnarray*}$ kann man dann damit auch für einige negative Werte einen Funktionswert berechnen. Mit dem ln hat das dann aber nichts zu tun, denn wie du schon sagst, gilt $\begin{eqnarray*} x^\frac{1}{x}=e^{\ln(x)\cdot\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ nur für positive x-Werte.