Vollständiger Metrischer Raum - Konvergenz beweisen |
| 30.11.2014, 16:49 | Phacelia | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vollständiger Metrischer Raum - Konvergenz beweisen Meine Frage: Es sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und (xn) eine Folge in X mit der Eigenschaft, dass es ein gibt, mit für alle (ohne Null) Beweisen sie dass (xn) konvergiert. Meine Ideen: Also wenn ich mir beispielhaft einfach mal n=5 anschaue komme ich auf folgendes: Dies versuche ich nun per Induktion zu beweisen... Da hapert es dann schon. Der Induktionsanfang ist ja klar, aber der Schluss nicht wirklich... Induktionsschluss: n--> n+1 irgendwie schaffe ich es nicht die Umformungen geschickt einzusetzen... Weiter würde ich dann so vorgehen wollen, weiß aber nicht so wirklich ob es so geht... Ich möchte Zeigen, dass es sih um eine Cauchy-Folge handelt und somit im vollständigen metrischen Raum die Folge (xn) konvergiert. O.B.d.A sei nun m>n aus den natürlichen ZAhlen. Dann führt man dies weiter, folgt durch die Eigenschaft, dass alpha zwischen 0 und 1 liegen muss und der Induktionsformel, das die obere Grenze <= C --> 0 geht. Damit wird auch der Abstand zwischen xn und xm kleiner gleich dieser oberen Schranke. Es handelt sich um eine Cauchyfolge. Durch die vollständigkeit konvergiert nun die Folge (xn)... Ist das folgerichtig? Ich hoffe mir kann jemand helfen... Danke im Voraus |
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