Endwert in Summen berechnen

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30.11.2014, 21:58	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
Endwert in Summen berechnen Guten Abend, Gibt es eine Methode, um den Endwert einer Summe zu berechnen? Z.B. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (20+4x)=140 \end{eqnarray}$ Durch probieren kommt man auf n=4. Aber lässt sich das auch ohne Probieren errechnen? Vielen Dank
30.11.2014, 22:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Summe sollte doch sicherlich 20+4k stehen, oder? Du kannst für die Summe eine explizite Formel in Abhängigkeit von n finden. Diese setzt du dann gleich 140 und stellst nach n um.
30.11.2014, 22:10	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hellikackter, zunächst habe ich eine Frage an dich: Soll das x in der Summe ein k sein, oder tatsächlich ein x ? Wenn es ein x ist, dass nicht von deinem Summenindex k abhängig ist, ist diese Summe leicht zu berechnen. Kennst du dich mit dem Summenzeichen aus? Wie kannst du diese Summe auch "ohne das Summenzeichen" darstellen (vorausgesetzt, das x ist nicht k)? Viele Grüße Widderchen
30.11.2014, 22:13	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, sorry. x sollte natürlich k sein!
30.11.2014, 22:27	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du bereits den "kleinen Gauß" kennengelernt??? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2} \end{eqnarray}$ Damit solltest du weiterarbeiten können!
30.11.2014, 22:55	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (20+4k)=140 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20+4\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}=140 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 40+4n\cdot (n+1)=280 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4n^2+4n-240=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2+n-60=0 \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt würde ich die pq-Formel anweden. Damit erhalte ich dann dann zwei Lösungen, wovon ich dann die Negative ignorieren kann und die andere mein n ist... In dem speziellen fall ergibt die pq-formel aber 7,962... wobei ja 4 richtig wäre. Was mache ich falsch?
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30.11.2014, 22:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem ersten Beitrag fängt die Summe bei k=0 an, du hast jetzt mit k=1 gerechnet. Edit: Und außerdem ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (20+4k)\neq 20+4\cdot\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ .
01.12.2014, 00:25	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja klar... Dann muss ich einen Indexshift machen... Wie lässt sich denn $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (20+4k) \end{eqnarray}$ sonst mit dem kleinen Gauß darstellen?
01.12.2014, 00:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (20+4k)=\sum\limits_{k=1}^n 20+\sum\limits_{k=1}^n 4k \end{eqnarray}$
01.12.2014, 01:09	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde für mich aufs gleiche rauskommen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n 20+\sum\limits_{k=1}^n 4k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n 20+4\sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (20+4k) \end{eqnarray}$
01.12.2014, 01:11	Helikackter	Auf diesen Beitrag antworten »
In letzten Zeile sollte folgendes stehen $\begin{eqnarray} 20+4\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2} \end{eqnarray}$
01.12.2014, 11:35	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hellikackter, deine Lösung ist so nicht ganz richtig! Was geschieht nämlich, wenn du n (bzw. n+1 -mal) die 20 addierst?? Da solte nicht nur "20" herauskommen!!
02.12.2014, 09:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Problem, was ich schon häufig hier im Board beobachtet habe. Vielleicht sollte man in den Schulen bei den Beispielen zur Vollständigen Induktion nicht mit dem kleinen Gauß $\begin{align} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{align}$ anfangen, sondern noch einfacher mit $\begin{align} \sum_{k=1}^n 1 = ? \end{align}$ .... (ok, will ja nicht alles verraten).
02.12.2014, 17:33	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da gebe ich dir völlig recht, Hal. Um den Umgang mit dem Summenzeichen besser nachvollziehen zu können, sollte man zunächst die summen konstanter Größen betrachten. &#55357;&#56833;

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