Konvergenzbeweis , Epsilonumgebung

01.12.2014, 12:14

Zefir

Konvergenzbeweis , Epsilonumgebung

Meine Frage:
Mahlzeit smile

Es geht um den Beweis von Konvergenz via Epsilonkriterium. Allgemein habe ich das Ganze verstanden meine ich, mein Problem liegt eher an den Abschätzungen. Da verrenne ich mich oft.

Meine Ideen:
Daher bräuchte ich Hilfe bei der Folge : $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3n^{2}+1}{2n^{2}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^{2}\left(3+\frac{1}{n^{2}} \right) }{n^{2}\left(2-\frac{1}{n^{2} } \right) } \end{eqnarray*}$

Nun, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ die harmonische Folge bildet die gegen 0 konvergiert, schließe ich daraus das der Grenzwert der Folge 3/2 sein muss.

Das ganze soll ich nun noch beweisen:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a | < E \end{eqnarray*}$ mit n > N

$\begin{eqnarray*} |\frac{3n^{2}+1}{2n^{2}-1} - \frac{3}{2}| < E \end{eqnarray*}$

mein Problem ist nun, dass egal wie ich rumrechne sich alle "n's" bei mir wegheben. Eigentlich sollte ich doch nach dem Abschätzen einen Zusammenhang zwischen N und E haben. Kann mir da jemand einen Tipp geben? Gibt es da nen "Kniff" mit dem ich das verhindern kann?

Mfg

01.12.2014, 12:19

klarsoweit

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RE: Konvergenzbeweis , Epsilonumgebung

Zitat:

Original von Zefir
mein Problem ist nun, dass egal wie ich rumrechne sich alle "n's" bei mir wegheben. Eigentlich sollte ich doch nach dem Abschätzen einen Zusammenhang zwischen N und E haben.

Da müßte man erstmal wissen, was du gerechnet hast. smile

01.12.2014, 12:26

Zefir

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puh... solche Aufgaben sind echt anstrengend mit dem Formeleditor wenn man ungeübt ist Big Laugh

Hoffe du verzeihst mir wenn ichs gerade einmal allgemein schreibe, bin gerade aufm Sprung, ansonsten würde ich es in 2-3 Stunden nochmal ausführlich beschrieben wenn ich wieder at home bin.

Also ich habe die Brüche auf den gemeinsamen Hauptnenner "2n^2" gebracht. Dann wäre der Bruch 3n^2-2n^2-3n^2 / 2n^2.... naja und jetzt habe ich in jedem Faktor nen "n^2" , kommt dann also am glatt 2 raus unglücklich

01.12.2014, 13:22

klarsoweit

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Hm.

Ich weiß ja nicht was du rechnest, aber der Hauptnenner ist 2 * (2n² - 1).

01.12.2014, 13:51

Zefir

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ohje... sowas passiert mir ständig -.-' sorry....

Okay, also :

$\begin{eqnarray*} |\frac{3n^{2}+1}{2n^{2}-1}-\frac{3}{2} | = |\frac{2(3n^{2}+1)-3(2n^{2}-1)}{2(2n^{2}-1)}| = |\frac{6n^{2}+2-6n^{2}+3}{4n^{2}-2}| = \frac{5}{4n^{2}-2} \end{eqnarray*}$

Muss ich das Ganze jetzt dann noch weiter vereinfachen oder könnte ich jetzt schon weiter abschätzen wie zb:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4n^{2}-2} < \frac{5}{4N^{2}-2} < E \end{eqnarray*}$

01.12.2014, 13:59

klarsoweit

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Ich würde für n >= 2 diese Ungleichung betrachten:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4n^2 - 2} < \frac{5}{4n^2 - n^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du noch sehen, daß die rechte Seite für n > N kleiner als epsilon wird. Das sollte kein großes Problem sein. smile

01.12.2014, 14:46

Zefir

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heisst ich könnte dann jetzt weiter abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4n^{2}-n^{2}} < \frac{5}{4N^{2}-N^{2}} < E \end{eqnarray*}$

und dann jetzt den letzen teil nach N umstellen?
und dann hätte ich ja das was ich suche oder?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4N^{2}-N^{2} > \frac{5}{E} \Rightarrow N^{2}-\frac{N^{2}}{4} > \frac{5}{4E} \Rightarrow \frac{3}{4}N^{2} > \frac{5}{4E} \Rightarrow N^{2} > \frac{5}{3E} \Rightarrow N > \sqrt{\frac{5}{3E}} \end{eqnarray*}$

Heisst also wenn mein Epsilon sagen wir 0.01 ist dann wäre $\begin{eqnarray*} N > \sqrt{\frac{5}{3*0.01}} = 12.9 \end{eqnarray*}$ . Heisst ab dem 12. Folgeglied würden dann alle meine Werte in der Epsilonumgebung liegen und somit wäre der Grenzwert bewiesen?

01.12.2014, 14:53

klarsoweit

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Ist im Prinzip ok, nur ein bißchen umständlich rechnest du schon:

Zitat:

Original von Zefir
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4N^{2}-N^{2} > \frac{5}{E} \Rightarrow N^{2}-\frac{N^{2}}{4} > \frac{5}{4E} \end{eqnarray*}$

Warum faßt du nicht einfach 4N² - N² = 3N² zusammen? Augenzwinkern

EDIT: wenn N > 12,9 ist, müßten alle Folgenglieder ab n=13 in der epsilon-Umgebung liegen.

01.12.2014, 14:56

Zefir

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nein wie peinlich... -.-' Hab nich weit genug geschaut schätz ich, 4N , ganz klar, alles durch 4 teilen....

naja gut für umständliches rechnen gibts ja hoffentlich keine Punkte abzug inner Klausur Hammer

wenns im prinzip okay is bin ich ja beruhiged, vielen dank fürs (erneute) helfen Augenzwinkern

Ah okay, also immer ab dem nächst höheren Wert. Klar, macht sinn =)

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