Basis von Quotientenraum

01.12.2014, 12:29

matheLisa94

Basis von Quotientenraum

Hallo,

ich habe Probleme beim bestimmen der Basis des Quotientenraums. Der Untervektorraum U ist:

$\begin{eqnarray*} U=\left\{ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} t\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Die Äquivalenzklasse zum Vektor a = (1,3,7) ist:

$\begin{eqnarray*} [a]=\left\{-t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} ,t\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Also die Basis von U müsste ja wieder (1,1,1) sein, da man aus diesem jeden anderen Vektor aus U erzeugen kann.

Beim Faktorraum R³/U ist mir das nicht so klar.

Danke smile

01.12.2014, 12:50

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RE: Basis von Quotientenraum
Ergänze die Basis von U mit geeigneten Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots ,b_k \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .
Dann sind die zugehörigen Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} [b_1],\ldots ,[b_k] \end{eqnarray*}$ eine Basis von V/U

01.12.2014, 12:57

matheLisa94

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Die Basis von U habe ich richtig bestimmt, oder ? Also ist die Basis von U auch immer ein Teil der Basis von R³/U ?

Eine Basis von R³ wäre (0,0,1), (0,1,0) und (1,0,1).

Bin ich auf dem richtigen Weg ?

01.12.2014, 13:06

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Zitat:

Original von matheLisa94
Die Basis von U habe ich richtig bestimmt, oder ?

Zitat:

Also ist die Basis von U auch immer ein Teil der Basis von R³/U ?

Nein. Das kann sie gar nicht sein, denn sie ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3/U \end{eqnarray*}$

Zitat:

Eine Basis von R³ wäre (0,0,1), (0,1,0) und (1,0,1).
Bin ich auf dem richtigen Weg ?

Nein. Ich schrieb

Zitat:

Ergänze die Basis von U

01.12.2014, 13:15

matheLisa94

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Die Basis von U (also (1,1,1)) ergänzen zu einer Basis von R³.

Also würde ich jetzt zu 1,1,1 nach Vektoren hinzufügen, und zwar die, die die Basis von R³ darstellen. verwirrt

01.12.2014, 13:24

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Zitat:

Original von matheLisa94
Also würde ich jetzt zu 1,1,1 nach Vektoren hinzufügen, und zwar die, die die Basis von R³ darstellen. verwirrt

Die Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gibt es nicht.
Du musst Vektoren hinzufügen, und zwar so, dass sich eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ergibt

01.12.2014, 13:30

matheLisa94

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Wie wäre es damit:

(1,1,1), (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,1)

01.12.2014, 13:31

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Das wäre grandioser Unfug

01.12.2014, 13:35

matheLisa94

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Ich komm bestimmt nicht drauf. Kannst du mir vielleicht erklären wie man darauf kommt ?

01.12.2014, 13:40

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Allem Anschein nach weißt du nicht, wie Basis und Dimension eines Vektorraumes zusammenhängen. Sonst wäre dir sofort klar gewesen, dass fünf Vektoren keine Basis eines dreidimensionalen Vektorraumes sein können.

Ansonsten: Nimm dir einen beliebigen, von (1,1,1) linear unabhängigen Vektor. In aller Regel ist es günstig, mit einfachen Vektoren anzufangen, d.h. solchen, die genau eine von Null verschiedene Komponente haben.
Dann suchst du dir einen zweiten Vektor, der von den beiden ersten linear unabhängig ist. Auch hier kann man versuchen, einen möglichst einfachen zu finden. Wenn du nicht siehst, ob er l.u. ist, musst du es nachrechnen.

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