Umkehrabbildung/ Relationen |
| 01.12.2014, 13:28 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Umkehrabbildung/ Relationen Hallo Leute, Häng etwas an der Matheübung: Das erste Problem ist eine Umkehrabbildung einer Abbildung R X R -> R X R durch f(x,y) =(2x+3,x-y). Ich bin mir hier nicht sicher wie ich verfahren muss, denn ich kann ja nicht einfach nach x auflösen (oder doch) =) Dass die Abbildung bijektiv ist habe ich bereits bewiesen. Und mein zweites Problem betrifft die Relationen: Ich soll für drei verschiede Mengen mit der Relation ~ entscheiden ob sie reflexiv, symmetrisch, transitiv oder antisymmetrisch ist. a) M = P(Z) (Potenzmenge ganze Zahlen) X~Y, genau dann wenn 1? X ? Y Mein Ansatz wäre, dass es symmetrisch (1? Y ? X) und reflexiv ist (sind eigentlich nicht alle Relationen reflexiv) Transitiv sollte diese Relation ja nicht sein oder? b) M = |R; a~ b genau dann wenn, -1<= a-b <=1. Mein Ansatz wäre dass es symmetrisch und reflexiv ist. Symmetrisch, weil wenn a-b = 1, dann b-a = -1 c) M = Z; a~b genau dann wenn, a=b+1. Diese müsste ja nun reflexiv und antisymmetrisch (a+1 != b) sein. Wie kann ich denn solche Aufgaben auf Trainsitivität untersuchen, das verwirrt mich etwas^^ Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte Viele Grüße Meine Ideen: stehen ja bereits oben |
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| 01.12.2014, 14:35 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Umkehrung: was musst du in der ersten Komponente für x einsetzen, dass da als Ergebnis nur noch x über bleibt? In der zweiten Komponente dasselbe Spiel für y. Bei Relation a) musst du mir erklären, was die Fragezeichen bedeuten. Meine Kristallkugel, das unzuverlässige Stück Schrott, ist leider mal wieder defekt 
Relation b) ist tatsächlich symmetrisch und reflexiv, die Argumentation ist aber noch verbesserungswürdig und auch für die anderen Eigenschaften vermisse ich die Angabe eines Gegenbeispiels Relation c) ist tatsächlich antisymmetrisch, allerdings wieder sehr knapp begründet. Allerdings ist sie nicht reflexiv, und damit hast du dir deine Frage von weiter oben auch schon beantwortet: es gibt nichtreflexive Relationen. Auch hier solltest du Gegenbeispiele für die restlichen Eigenschaften angeben Lg kgV 
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| 01.12.2014, 14:42 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallöle und danke für die Antworten 
bei Relation a) 1 ist ein Element von X geschnitten mit Y, immer diese Kristallkugeln, meine verliert immer Öl^^ be Reklation b wie würde denn in etwa so eine halbwegs passende Begründung aussehen? Wir haben das ganze in der Vorlesung immer nur mit extrem Einfachen Beispielen gemacht, wo man nie begründen musste Relation c) wieso ist denn Relation c nicht reflexiv? Reflexivität sollte doch eigentlich das Einfachste sein( laut Aussagen) aber mich verwirrt die grad am meisten Viele Grüße |
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| 01.12.2014, 14:51 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unter diesen Umständen ist Relation a) wirklich symmetrisch, aber nicht reflexiv (
). Sie ist aber durchaus transitiv. Schau dir dazu einfach mal die Definition der Transitivität anDie Begründung bei b) muss nicht großartig ausfallen, wenn |a-b|<1, dann ist auch |b-a|=|-(a-b)|<1. Fertig. Die Begründung für die Reflexivität darfst du selbst versuchen. Einfach mal drauflos-Einsetzen. Dann versuch doch mal, die Definition der Reflexivität () auf irgendeine Zahl loszulassen. Das muss doch schiefgehen
Bevor das aber zu verwirrend wird, schlage ich vor, dass wir uns die Relationen der Reihe anch vorknöpfen 
Fang also zunächst mal mit der Relation a) an. |
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| 01.12.2014, 14:58 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay also dann leg ich mal los: symmetrie is geklärt; keine Revlexivität: hmmm, also wenn ich 2 mit 2 schneide ist 1 kein Element ??? ^^ keine antisymmetrie: symmetrie und antisymmetrie kann nur bei leeren Relationen vorkommen oder? Transitiv: Ich hab ja kein z, wie kommt man denn dann auf xRy und yRz => xRy (sorry für Latex blieb bisher noch etwas wenig Zeit) bei Relation b) wenn es Reflexiv ist wäre es dann immer 1-1 = 0, 2-2 =0 usw? LG |
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| 01.12.2014, 15:09 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reflexivität: jep, allerdings . Wir schneiden Mengen, keine Zahlen
Keine Antisymmetrie: nein, das stimmt schon mal nicht (z.B. a~b, wenn a=b) ist antisymmetrisch (lustigerweise auch symmetrisch) Du kannst dasselbe Gegenbeispiel wie bei der Reflexivität verwenden, die Begründung musst du noch anpassen Transitiv: Nimm drei beliebige Mengen A,B,C: wenn A und B geschnitten die eins enthalten, dann ist die 1 in beiden Mengen. Wende dasselbe Argument auf B und C an und begründe dann, warum auch die Eins enthalten muss Relation b). 
exakt@Latex: kein Problem, solange es verständlich bleibt
Zu Relation b) Wenn wir die Transitivität widerlegen wollen, dann brauchen wir drei Zahlen, a<b<c, die untereinander einen Abstand kleiner als 1 haben, aber zusammen einen Größeren. Warum, das ist dir klar? Wenn ja, dann such mal solche Zahlen. Hast du für die Antisymmetrie eine Idee für ein Gegenbeispiel? |
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| 01.12.2014, 15:31 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn wir nun bei b die Transitivität widerlegen wollen, a= 3 b= 4 c= 5, wäre dann die transitivität bereits widerlegt, da ja a-b =-1 und b-c =-1 aber a-c = -2? Das Widerlegen der Asymmetrie ist mir immer noch etwas fremd und hinschreiben, dass die Relation bereits symmetrisch ist läuft nicht^^ Die c ist nur antisymmetrisch dann oder?, da reflektivität nicht passt( wegen dem +1 kann das ja nicht gehen, 3=3+1,) Symmetrie, b=a-1 und nicht a+1, transitivität a~b = b+1 also wenn a =4 dann ist b=3 und wenn dann b~c dann gilt b=c+1 also 3=2+1, und wenn man nun a~c a = c+1 und das stimmt nicht , denn 4 ist nicht 2+1 LG |
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| 01.12.2014, 15:44 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Transitivität bei der b) passt hervorragend
Bei der Antisymmetrie ist dann wohl zunächst etwas Erklärungsarbeit zu leisten: Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn gilt . Das bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, dass für ein Paar von Elementen (a,b) beide Richtungen der Relation gelten, die ist, dass die Elemente gleich sind. Kurz gesagt: Für zwei verschiedene Elemente können nicht beide Richtungen einer Relation gelten. So weit, so gut. Wir sind jetzt an der Negation interessiert. Wann ist eine Relation nicht transitiv. Nun, offensichtlich, wenn ich ein Paar von Elementen finde, das die Voraussetzungen erfüllt, aber nicht die Folgerung. Gesucht sind also a und b so, dass , aber gilt. bedeutet in b), dass . Such jetzt mal zwei Werte, die das erfüllen, aber nach Möglichkeit nicht gleich sind. Die Frage an dich: Hast du dann schon dein Gegenbeispiel gefunden? Die c) ist tatsächlich nur antisymmetrisch. Die Gegenbeispiele stimmen
Läuft doch
Andere Frage: ist bei der a) alles klar? Und passt auch das mit der Umkehrfunktion? PS. Ich bin jetzt mal für eine knappe halbe Stunde off, schaue danach aber definitiv wieder rein, nicht weglaufen also :P. Bis später |
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| 01.12.2014, 15:58 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Perfekt =) zwei Werte bei denen aRb passt sind ja zum Beispiel für a=3 und für b=4, ach so. Dann hab ich ja die Antisymmetrie bereits bewiesen, da die Aussage ja so passen würde. bei Teilaufgabe a) wäre das Gegenbeispiel dann, dass X(1,2,3) geschnitten mit Y(1,4,5) ja ebenfalls für die Aussage passen würde und sie nicht gleich sind oder? Bei Teilaufgabe c) bin ich noch etwas verwirrt, da es ja auch nicht passen würde wenn a und b gleich sind oder? An der Umkehfrunktion versuch ich mich nachher Vielen Dank schonmal für deine Hilfe, hat mir wirklich sehr geholfen
LG |
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| 01.12.2014, 16:18 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei der umkehrabbildung: Muss ich da y für x einsetzten, oder x einfach auf die andere Seite der Gleichung nehmen? oder wie läuft das ab
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| 01.12.2014, 16:24 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für a=3,b=4 gilt wirklich , ja. Aber die Relation b) ist nicht antisymmetrisch, und das kannst du leicht zeigen, indem du jetzt nachprüfst, dass auch gilt. Wenn das der Fall ist, dann müsste für eine antisymmetrische Relation gelten, dass a=b ist, was hier aber klarerweise nicht erfüllt ist. Dein Gegenbeispiel für a) passt aber hervorragend
Die Antisymmetrie für die c) ist auch etwas verwirrend einzusehen... Sie ist nämlich nur antisymmetrisch, weil es kein Paar (a,b) gibt, das und erfüllt. Überleg dir mal, warum das so sein muss
Dass die Relation dann antisymmetrisch ist folgt aus dem Fakt, dass, wenn es keine Paare gibt, die der Bedingung genügen, die Folgerung automatisch für alle Paare erfüllt ist, die der Bedingung genügen (da bleibt gewissermaßen nix nachzuprüfen übrig - und dann schuldig aus Mangel an Gegenbeispielen) |
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| 01.12.2014, 16:27 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Umkehrung ist ja dadurch festgelegt, dass für alle (x,y) gelten muss: . Also bleibt dir (in der ersten Komponente) zu bestimmen, welche Funktion aus das gesuchte macht. Im Grunde suchst du also das , das erfüllt (mit den y's läuft es selbstredend genau gleich)
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| 01.12.2014, 16:33 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay perfekt für a und b hab ich es dann richtig verstanden
und die c ist halt antisymmetrisch, weil sie halt eben nicht symmetrisch ist oder versteh ich das falsch. Sind dann automatisch alle Relationen, welche nicht symmetrisch sind antisymmetrisch? LG |
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| 01.12.2014, 16:41 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann wäre ja bei der Umkehrfunktion x=2a+3 a=(3-x)/2 und y = (3-x)/2 -b b= (3-x)/2 -y Sind dass nun schon die Umkehrabbildungen oder muss ich da noch etwas dran ändern. bzw stimmt meine Rechnung überhaupt 
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| 01.12.2014, 16:41 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da verstehst du leider falsch
Die Relation c) ist antisymmetrisch, weil sie nicht nicht antisymmetrisch ist. Etwas ist auch dann wahr, wenn ihm nichts widerspricht, und genau das nutzen wir hier aus: wir zeigen, dass es keine Gegenbeispiele gibt. Dann muss die Aussage aber wahr sein. Generell musst du dich davon verabschieden, dass bei Relationen die Begriffe symmetrisch und antisymmetrisch komplementär sind. Sie können sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch zugleich sein (wie das Beispiel a~b wenn a=b illustriert) |
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| 01.12.2014, 16:44 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der ersten Komponente ist ein Vorzeichenfehler drin, da musst du nochmal drüberschauen. Und für die zweite Komponente stimmt der Ansatz leider nicht. Du suchst ein b, so, dass gilt, denn in der zweiten Komponente wollen wir am Ende ja y stehen haben |
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| 01.12.2014, 16:45 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aaah okay cool jetzt hab ich das verstanden
verrückt 
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| 01.12.2014, 16:50 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab den Vorzeichenfehler entdeckt. Dann müsste es ja so heißen: x-b = y b=x-y LG |
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| 01.12.2014, 16:52 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wunderbar
In dem ganzen parallel Arbeiten habe ich jetzt aber etwas den Überblick verloren. Würdest du deine Ergebnisse zu den Relationen noch einmal zusammenfassen, dass wir sichergehen können, dass wir nichts ausgelassen haben? Und was dein Ergebnis bei der Umkehrabbildung betrifft: jep, so muss das aussehen. Jetzt musst du die beiden Teilergebnisse nur noch als Abbildung zusammenstückeln, dann ist hier Schluss
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| 01.12.2014, 17:03 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Super
Also dann wäre die Umkehrfunktion nun ja f^-1((x,y)) =(-(3-x)/2),x-y) Also bei der ersten Relation ( schnitt von 2 Mengen) reflexiv : nein, {2,2} symmetrisch: ja wenn x{1,3,4} und y {1,5,6} ist es egal ob x geschn. mit y oder andersherum antisymm: nein siehe symmetrie oben: es funktioniert und X ungleich Y transitiv: 1E X n Y, und 1E YnZ , dann auch 1E XnZ, sollte ich das noch etwas besser begründen? (ich nehm mal n als schnitt und E als Element ) zweite: -1<= a-b <=1 reflexiv: ja, a-a = 0 ( 1-1, 2-2 ...) symmetrisch: ja, ang: a=3 und b=4 a-b = -1 und b-a =-(a-b) antisymmetrisch: nein, Begründung: siehe symmetrie; es funktioniert bei auch bei ungleichen transitiv: nein, a=3 b=4 c=5 a~b =a-b =-1 b-c=-1 a-c=-2 dritte: nur antisymmetrisch, da dies nicht widerlegt werden kann |
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| 01.12.2014, 17:14 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis auf die Anmerkungen, die ich dir ins Zitat gemalt habe, sieht das soweit richtig gut aus
Dann fehlen nur noch drei Gegenbeispiele für die dritte (unter der Voraussetzung, dass du begründen kannst, warum keine Elemente und zugleich erfüllen können, denn nur dann gilt das Argument für die Antisymmetrie). Dass sie nicht reflexiv ist, sollte klar sein, dann bleiben noch Symmetrie und Transitivität. für die Transitivität kannst du das Gegenbeispiel von b) nehmen und die Nicht-Symmetrie folgt aus der Begründung für die Antisymmetrie (wenn du hinschaust, findest du da genau die Aussage, dass kein Paar die Symmetrieeigenschaft erfüllt) |
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| 01.12.2014, 17:21 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Hilfe, hat mir echt geholfen, dass alles zu verstehen 
ups, ja die Gegebbeispiele bei der drei hab ich vergessen, hat die Umkehfrunktion dort gepasst? Und nun zum runden Abschluss noch eine kurze Frage ^^ Man soll angeben ob es auf M( beliebige Menge), die sowohl symmetrisch als auch asymmetrisch sind gibt. Wie vorher herausgefunden gibt es die. Nur kann ich da einfach so hinschreiben, {(1,1)(2,2)} aus der Ebene M{1,2,3,4}, oder würde dies der Aufgabenstellung widersprechen? Mit dankenden Grüßen
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| 01.12.2014, 17:25 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Umkehrfunktion stimmt
Sry, hab ich zu erwähnen vergessen
Und jo: die Relation passt
Sie ist symmetrisch und antisymmetrisch, außerdem ist sie noch transitiv. Aber das war ja nicht Teil der Aufgabe
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| 01.12.2014, 17:41 | b4shyou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super VIELEN DANK !!!!
DU hast mir echt wahnsinnig geholfen heute, danke dass du dir die Zeit genommen hast. Ich würde dann mal sagen. Bis zum nächsten Übungsblatt
Viele Grüße Marci |
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| 01.12.2014, 17:52 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gern geschehen
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