Raumkurven: Wieso sind n(t) und b'(t) parallel?

01.12.2014, 16:31

lonal

Raumkurven: Wieso sind n(t) und b'(t) parallel?

Hallo,

kurze Frage zu Raumkurven:
wenn t(t) mein Tangetialeinheitsvektor ist, n(t) mein Normaleneinheitsvektor und b(t) der Binormalenvektor ist.
Wieso ist dann b'(t) parallel zu n(t)?

b'(t) ist ja senkrecht zu b(t). Er könnte aber dann ja auch parallel zu t(t) sein oder ? Oder missachte ich eine Vorzeichenkonvention? Big Laugh

Hoffe auf baldige Antwort.

Gruß

lonal

01.12.2014, 17:02

IfindU

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RE: Raumkurven: Wieso sind n(t) und b'(t) parallel?
Vorzeichen sind in dem Fall ja egal. Ich bin nicht wirklich fit in Differentialgeometrie, aber sollte daraus folgen, dass man $\begin{eqnarray*} \langle t, b \rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle b,b \rangle \end{eqnarray*}$ mal nach der Zeit ableitet.

01.12.2014, 17:42

Midna

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RE: Raumkurven: Wieso sind n(t) und b'(t) parallel?

Zitat:

Original von lonal
b'(t) ist ja senkrecht zu b(t).

Was ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ? Ich kenne das mit der Bogenlänge $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b(s) \end{eqnarray*}$ ist definiert als

$\begin{eqnarray*} b(s):=t(s) \times n(s) \end{eqnarray*}$ .

Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}b(s)}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(t(s) \times n(s))=\frac{\mathrm{d}t(s)}{\mathrm{d}s} \times n(s)+t(s) \times \frac{\mathrm{d}n(s)}{\mathrm{d}s}=\kappa n(s) \times n(s)+t(s) \times \frac{\mathrm{d}n(s)}{\mathrm{d}s}=t(s) \times \frac{\mathrm{d}n(s)}{\mathrm{d}s} \end{eqnarray*}$

mit Krümmung $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ . Also steht $\begin{eqnarray*} t(s) \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}b(s)}{\mathrm{d}s} \end{eqnarray*}$ . Wie Du gesagt hast, ist auch $\begin{eqnarray*} b(s) \end{eqnarray*}$ senkrecht auf seiner Ableitung und daraus folgt die Parallelität.

P. S.: Die Pfeile über den Vektoren habe ich mal aus Faulheitsgründen weggelassen.

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