Grenzwertbetrachtung: Alpha & Beta herausfinden

01.12.2014, 19:47	MonteZuma123	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbetrachtung: Alpha & Beta herausfinden Meine Frage: Hallo, ich sitze vor einer Aufgabe, bei der ich alpha und beta so wählen muss, dass der folgende Grenzwert = 0 ist. $\begin{eqnarray} \sqrt{ax^{2}+ bx + c} - \alpha x - \beta = 0 \end{eqnarray}$ für x gegen unendlich. Meine Ideen: Ich habe zunächst probiert, zu einer binomischen Formel zu erweitern, wo ich jedoch nach dem 1. Vereinfachungsschritt nicht weiterkam, als sich nämlich die Wurzel gegenseitig weg-multipliziert hat.
02.12.2014, 14:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbetrachtung: Alpha & Beta herausfinden Die Aufgabe ist nur für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ sinnvoll. Die binomische Formel hilft dann schon weiter. Es ist: $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c=(\sqrt a x+\frac {b}{2\sqrt a})^2+c-\frac {b^2}{4a} \end{eqnarray}$ Für große x ist die Konstante $\begin{eqnarray} c-\frac {b^2}{4a} \end{eqnarray}$ vernachlässigbar. Das legt nahe: $\begin{eqnarray} \alpha = \sqrt a \quad \beta=\frac {b}{2\sqrt a} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} y=\sqrt a x+\frac {b}{2\sqrt a} \text { und } d=c-\frac {b^2}{4a} \end{eqnarray}$ Es ist dann zu zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{y \to \infty} \sqrt {y^2+d}-y=0 \end{eqnarray}$ Das ist ein Grenzwert der Form $\begin{eqnarray} \infty -\infty \end{eqnarray}$ . Den kann man z. B. durch geeignete Umformung mit l`Hospital verarzten.

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