Lösen einer Kongruenz durch eine diophantische Gleichung

02.12.2014, 10:46	Sven6593	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer Kongruenz durch eine diophantische Gleichung Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll die folgende Kongruenz lösen,indem ich eine passende diophantische Gleichung benutze: 14a ist kongruent zu 34 mod 36 Meine Ideen: Die passende diophantische Gleichung ist 7x+18y =17,der ggT ist 1,daher ist sie lösbar. Diese habe ich bereits gelöst und habe x=34 und y=-17, somit ist die Lösungsmenge : x=34+15t und y=-17-7t. Wie mache ich aber von hier weiter um die passenden Restklassen der angegebenen Kongruenz zu finden? Gruß, Sven
02.12.2014, 10:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwo verrechnet $\begin{align} 7\cdot 34 + 18\cdot (-17) = -68 \neq 17 \end{align}$
03.12.2014, 22:11	Sven6593	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: irgendwo verrechnet Stimmt habe mich verrechnet. Die richtigen Werte sind y=34 und x=-85, dann stimmt auch die diophantische Gleichung. Gibt es denn irgendwelche Ideen,wie ich durch diese Ergebnisse die Restklassen der ursprünglichen Kongruenz bestimmen kann?
03.12.2014, 22:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} x = -85+18t,\,y = 34-7t \end{align}$ ist richtig. Du kannst natürlich den Parameter beliebig verschieben, z.B. ergibt sich mit $\begin{align} t=t'+5 \end{align}$ die andere Darstellung $\begin{align} x = 5+18t',\,y = -1-7t' \end{align}$ derselben Lösungsmenge.
03.12.2014, 22:59	Sven6593	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok. Und führt mich diese Verschiebung zur Formulierung der berechneten Werte als Restklassen der Anfangskongruenz? Stehe da momentan total auf dem Schlauch, wie ich da vorgehen soll.
03.12.2014, 23:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das hatte ich aus den Augen verloren - ich dachte, die eigentliche Aufgabe war die Lösung von $\begin{align} 7x+18y=17 \end{align}$ . Die Kongruenz hat einfach die Lösung $\begin{align} x\equiv -85\equiv 5\bmod 18 \end{align}$ , letzteres, wenn du unbedingt einen Repräsentanten zwischen 0 und 17 haben willst.
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03.12.2014, 23:08	Sven6593	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja einfach. Und es gibt nur genau eine Restklasse? Liegt das daran, dass der ggT (7,18)= 1 ist?
03.12.2014, 23:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nur eine Restklasse modulo 18. Wenn du es wie in der Originalkongruenz modulo 36 betrachtest, gibt es natürlich zwei Lösungen: 5 sowie 5+18=23.
03.12.2014, 23:13	Sven6593	Auf diesen Beitrag antworten »
Super,danke!

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