Gruppen, Gruppoide, Halbgruppen und Monoide

02.12.2014, 10:24

Fluegelnuss

Gruppen, Gruppoide, Halbgruppen und Monoide

Meine Frage:
Wie Gruppen definiert sind habe ich verstanden, jedoch blicke ich bei Gruppoiden, Halbgruppen und Monoiden nicht durch (zumindest bin ich mir nicht sicher ob meine Definitionen stimmen). Kann mir jemand sagen ob meine Definitionen stimmen bzw sie korrigieren?

Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Eine Gruppe muss ein neutrales Element e haben, jedes Element braucht ein inverses Element und das Assoziativgesetz muss gegeben sein.
Bei Gruppoiden, so wie ich das verstanden habe, muss bei Verknüpfung von 2 beliebigen Elementen der Gruppe immer ein drittes Element als Ergebnis rauskommen, sprich (N, +) ist ein Gruppoid, da diese Bedingung zutrifft während (R, +) kein Gruppoid ist, da 0+1=1 und somit ein Element der Verknüpfung dem Ergebnis entspricht.
Eine Halbgruppe ist ein Gruppoid bei welchem das Assoziativgesetz gilt.
Bei Monoiden bin ich völlig planlos... Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

02.12.2014, 10:47

Flügelnuss

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Habe mich jetzt mal probiert meine Aufgabe zu lösen, bei welcher ich jeweils angeben musste ob es sich um eine Gruppe, ein Gruppoid, ein Monoid oder eine Halbgruppe handelt (Monoid habe ich verstanden Big Laugh

) :
(N, +) --> Halbgruppe, weil Gruppoid bei welchem Assoziativgesetz gilt.
( $\begin{eqnarray*} N_{0} \end{eqnarray*}$ , +) --> Monoid, weil Halbgruppe mit neutralem Element (0)
(Q, +) --> Gruppe
(Q, *) --> Nichts von allen(?)
(R, +) --> Gruppe
( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , +) --> Halbgruppe, weil Gruppoid + Assoz.
(R, *) --> Nichts von allen (?)
( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , *) --> Halbgruppe
(Z, *) --> wieder nichts von allen(?)

Stimmt das?

Ps: Habe leider beim erstellen der Frage meine email falsch geschrieben, konnte mich deswegen nicht mehr einloggen also musste ich einen neuen Acc machen Hammer

02.12.2014, 11:09

Guppi12

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Hallo,

du hast die Definition eines Gruppoids gründlich missverstanden.
Wahrscheinlich habt ihr sowas definiert wie: Die Verknüpfung zweier Elemente muss ein drittes Element des Gruppoids sein. ?

Das bedeutet aber nicht, dass es verschieden von den zwei verknüpften Elementen sein muss. Es bedeutet lediglich, dass man, wenn man zwei Elemente verknüpft nicht außerhalb der zugrundeliegenden Menge landet. Das ist eine Eigenschaft, die jede dieser Strukturen erfüllen muss.

Unter diesem Aspekt solltest du vielleicht deine Lösung nochmal überarbeiten Augenzwinkern

02.12.2014, 12:25

Flügelnuss

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Nach dem überarbeiten komme ich auf:

(N, +) --> Halbgruppe,
( $\begin{eqnarray*} N_{0} \end{eqnarray*}$ , +) --> Monoid
(Q, +) --> Gruppe
(Q, *) --> Monoid
(R, +) --> Gruppe
( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , +) --> Halbgruppe
(R, *) --> Monoid
( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , *) --> Halbgruppe
(Z, *) --> Monoid

Ist das jetzt korrekt? Ich glaube ich mache immer noch Fehler beim Assoziativgesetz weil ich keine Fälle (bei diesen Beispielen) finde wo es nicht zutrifft verwirrt

Edit: Danke für die schnelle Hilfe! Augenzwinkern

02.12.2014, 12:59

Guppi12

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Zitat:

( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , *) --> Halbgruppe

Da ich annehme, dass du immer die Struktur mit den meisten Eigenschaften angeben sollst, ist dies hier nicht richtig. Denke noch einmal darüber nach.

Der Rest stimmt.

02.12.2014, 13:06

Flügelnuss

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Achja stimmt, bei ( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , *) ist das Einserelement ja 1, weil 1*x=x. Wodurch diese Struktur auch zum Monoid wird.

Supi, danke! Freude

02.12.2014, 13:37

Guppi12

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Ist bei dir $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ ? Falls nicht, so ist das immernoch nicht richtig.
Falls doch(was ungewöhnlich wäre), so ist stattdessen

Zitat:

( $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ , +) --> Halbgruppe

falsch.

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