Einheiten im Restklassenring praktisch ausrechnen

02.12.2014, 18:58	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten im Restklassenring praktisch ausrechnen Moin, ich beschäftige mich gerade ganz theoretisch mit der Struktur der Einheitengruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Ich bin allerdings ein wenig raus und wollte deshalb erst mal als Beispiel die Einheitengruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{10} \end{eqnarray}$ bestimmen. Dieser Restklassenring enthält doch die ganzen Zahlen, sortiert in Äquivalenzklassen bzgl. der Division modulo 10. Also die Klassen: (...,0,10,20,30,40,50,60....) (...,1,11,21,31,41,51,61....) (...,2,12,22,32,42,52,62....) ... (...,9,19,29,39,49,59,69,...) Wie bestimme ich aber jetzt die Einheiten? Einheiten sind doch alle Elemente x, für die y und z existieren mit xy = 1 und zx = 1. Wie multipliziere ich aber jetzt diese Äquivalenzklassen? Irgendwie scheitere ich an diesem praktischen Beispiel. In meinem Fall mit den ganzen Zahlen habe ich ja Kommutativität, in diesem Fall müsste also y = z gelten. Würde mich sehr freuen, wenn ihr das Beispiel mit mir mal zuende denken würdet. Gruß Martin
02.12.2014, 19:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheiten im Restklassenring praktisch ausrechnen Multiplikation zweier Äquivalenzklassen ist zunächst einmal eine Definitionssache $\begin{eqnarray} [a][b]:=[ab] \end{eqnarray}$ also etwa "Produkt zweier Äquivalenzklassen ist Äquivalenzklasse des Produktes" Als erstes muss man sich klar machen, dass das wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl von a und b. Jetzt lasse ich die Klammern bei Äquivalenzklassen der Faulheit wegen wieder weg. Zu den Einheiten: Vielleicht bringt dich ein Beispiel auf die richtige Spur: Angenommen es gäbe ein x mit $\begin{eqnarray} 2\cdot x=1 \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} 0=5\cdot 2\cdot x= 5 \end{eqnarray}$ .
02.12.2014, 19:56	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann suche ich noch mal nach so einer Definition in unserem Skript. Müsste ja dann da irgendwo stehen. Tatsächlich, ich finde folgendes: $\begin{eqnarray} R/A := \{ r+A \| r \in R \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x+A)+(y+A) = (x+y)+A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x+A)(y+A) = (xy)+A \end{eqnarray}$ Das heißt, um meine Einheiten zu finden, muss ich jetzt schauen, welches Produkt aus Äquivalenzklassen das neutrale Element bzgl. der Multiplikation mit diesen Äquivalenzklassen bildet. Das neutrale Element bzgl. der Multiplikation ist ja die Äquivalenzklasse (... ,1, 11, 21, 31, ...). Das ist also auf jeden Fall schon mal eine Einheit, da man diese ÄK ja mit sich selbst multiplizieren kann. Jetzt würde ich versuchen, folgende Gleichungen zu lösen: 2x mod 10 = 1 3x mod 10 = 1 4x mod 10 = 1 5x mod 10 = 1 6x mod 10 = 1 7x mod 10 = 1 8x mod 10 = 1 9x mod 10 = 1 Bei 2,4,6,8 wird mir das wohl nicht gelingen, da Produkte mit diesen Zahlen immer gerade sind. Bei 3 gelingt es mir mit 37 = 21. Bei 5 wird es mir nicht gelingen, da die Einerstelle immer eine 5 oder eine 0, nie eine 1 ist. Bei 9 gelingt es mir mit 9*9 = 81. Damit hätte ich als Einheiten die Äquivalenzklassen: (..., 1, 11, 21, ...) (..., 3, 13, 23, ...) (..., 7, 17, 27, ...) (..., 9, 19, 29, ...) Kommt das so hin? Würde mich freuen Irgendwelche Sonderfälle, in denen meine Argumentation scheitern würde? Gruß Martin
02.12.2014, 20:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so. Mein Beispiel sollte dich auf die Idee bringen, dass für die Einheiten ggT(a,10)=1 gelten muss.

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