Grösstmögliches Rechteck in einem gleichschenkligen Dreieck

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Ree Auf diesen Beitrag antworten »
Grösstmögliches Rechteck in einem gleichschenkligen Dreieck
Meine Frage:
Abend, ich bin mal wieder an meinen Matheaufgaben.... Wäre super, wenn ihr mir ein paar Tips geben könntet Augenzwinkern

Also: ich habe ein Dreieck (gleichschenklig) von acht Metern Höhe und zwölf Metern Breite. Da soll nun ein grösstmögliches Rechteck reinpassen....

Meine Ideen:
Ich hab mir eine Skizze dazu gemacht und jeweils die bekannten Werte notiert. Hauptbedingung ist wahrscheinlich:

a mal b (Rechteck)

Aber zur Nebenbedingung fällt mir nicht besonders viel ein... Ich meine Dreiecksfläche ist aber ob mir das was nützt? Ich bezweifle es.... Eigentlich muss ich eine Nebenbedingung suchen, welche in die Hauptbedingung passt oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Aufgabe gibt es 2 übliche Möglichkeiten, um an eine passende Nebenbedingung zu kommen.

1) Mit Hilfe von Strahlensätzen bzw der Ähnlichkeit von Dreiecken.

2) Mit Hilfe der Übertragung des Sachverhaltes in ein Koordinatensystem, in welchem man dann einen Schenkel des Dreiecks durch eine Gerade beschreiben kann.
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! Ich glaube, dass Variante 2) eher das ist, was von uns verlangt wird.
Soll ich das Dreieck auf die y-Achse legen? Wäre das hilfreich, oder spielt das keine Rolle?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit wäre das hier:
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Super, genau so sieht das bei mir aus Freude
Jetzt verwende ich die Geradengleichung als NB....
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, weißt du wie und warum ?
 
 
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

So ungefähr. "Ecke" des Rechtecks liegt ja "auf" dem Dreieck, somit ist ein entsprechender Punkt auf der Gerade des Schenkels gleichzeitig auch Länge von a bzw. b (kommt drauf an wie ich es beschrifte)... D.h.: Ich muss Geradengleichung für a oder b einsetzen... Oder?
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Und da fällt mir gerade auf: ist dann die Unbekannte x nicht gleich die Hälfte meines gesuchten Wertes für a (vorausgesetzt y = b)?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nennen wir ruhig mal die Breite des Rechtecks a und die Höhe des Rechtecks b.
Und bezeichnen wir den Punkt R als Punkt auf der Geraden g allgemein mal mit R(x|g(x)).
Wie kann man jetzt a und b durch x ausdrücken und wie kommst man überhaupt an die Geradengleichung für g ?
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Hat geklappt! Ergebnis = 24 (m^2)

Vielen Dank nochmals Bjoern1982 (Hast mir nun ja schon des Öfteren geholfen)! Wink Freude
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es so gemacht:

a = 2x

b =

Danach habe ich das in die Formel für die Rechtecksfläche eingesetzt (HB) und die erste Ableitung davon gleich Null gesetzt um den maximalen x - Wert zu erhalten. Den x - Wert dann in die Funktion für b und das Ganze dann berechnet (4 mal 6 = 24). Auf die Geradengleichung bin ich durch einfaches ablesen gekommen. Ich meine 8 = q und auch die Steigung war relativ leicht zu erkennen.

Ist das so korrekt oder gibt es (besonder bez. Geradengleichung) noch eine andere Vorgehensweise?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hört sich schon mal ganz gut an. Freude
Bedenke, dass du zum Nachweis des Maximums deinen x-Wert z.B. auch noch in die 2. Ableitung einsetzen musst oder zumindest erwähnst, dass es sich beim Graphen der Zielfunktion um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, die natürlich einen Hochpunkt haben muss.
Zum anderen gehört zu einer Extremwertaufgabe eigentlich auch immer noch der Definitionsbereich, in diesem Fall für x, denn beliebig groß darf x ja nicht werden.
Streng genommen müsste man dann auch noch testen, ob es evtl ein so genanntes Randextremum gibt, also ob die Zielfunktion womöglich an den Rändern des Definitionsbereichs maximal werden könnte.
Hier wird das nicht passieren aber in anderen Beispielen (siehe Maximales Rechteck unter Funktion ) könnte das durchaus angebracht sein.

Die Geradengleichung kann man mit passender Skizze in der Tat leicht durch ablesbarem y-Achsenabschnitt, so wie Steigungsdreieck direkt bestimmen.
Ree Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, den Nachweis vergesse ich manchmal, genauso wie den Definitionsbereich.... Hammer
Und das Randextremum muss ich (noch) nicht machen, obwohl ich auch schon damit konfrontiert wurde Augenzwinkern Vielen Dank nochmals!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, viel Erfolg weiterhin. Wink
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