Maximales Rechteck unter Funktion |
| 02.12.2014, 20:50 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Maximales Rechteck unter Funktion Ich habe ziemlich arge Probleme mit dieser Aufgabe, vielleicht kann mir ja jemand helfen 
.Also gegeben ist die Funktion f(x)=7/16x^2+2 Unterhalb soll nun an einem beliebigem Punkt Q auf dem Graphen, ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt sein. Ich habe nun die Hauptbedingung A=a*b Und habe schon versucht die Funktion aus den Bedingung aufzustellen. Dann hatte ich A(u)=(u-u2)*(7/16u^2+2) Danke für eure Hilfe 
// Das Rechteck kann beliebige u und v Werte annehmen, eben so das es maximal wird. Ist nur Beispielhaft in der Skizze. [attach]36309[/attach] |
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| 02.12.2014, 20:59 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soll der Punkt B nicht fest bei (4|0) liegen ? Andernfalls, wenn dieser auch noch variabel ist, dann macht die Aufgabe keinen Sinn, da das Rechteck ja dann unendlich groß werden kann. |
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| 02.12.2014, 21:02 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein soll es nicht. Unser Lehrer hat keinen Definitionsbereich festgelegt. Das ist der größte Punkt, der mich Verwirrt. Ich weiß nicht ob er es vergessen hat oder es auch ohne geht. Aber fakt ist, es könnte dann unendlich werden und das macht keinen Sinn. Ich weiß also nicht woher wir u2 nehmen können, denn es kann ja unendlich sein.. // Wenn das B den Wert 4/0 hätte, wie würde man weiter verfahren? |
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| 02.12.2014, 21:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die eine Seitenlänge ist übrigens nicht u-u2 sondern u2-u, zumindest wenn u2 rechts von u liegt, was ja auch nicht klar formuliert ist. Ich kenn die Aufgabe aus einem Mathebuch und da ist der Punkt B wie gesagt fest bei (4|0). Auch im Internet taucht die Aufgabe mit derselben Parabelgleichung desöfteren auf und auch da mit dem festen Punkt. Der Clou an der Aufgabe ist unter anderem eben die Betrachtung von so genannten Randextrema. |
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| 02.12.2014, 21:23 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. ich müsste mir einfach einen x-Wert für B festlegen und dann damit rechnen? Was anderes ergibt ja keinen Sinn. Wie würde ich dann fortfahren wenn wir nun (4-u)*(7/16x2+2) als Funktion haben? ( Wenn B nun den X wert 4 hat) Was macht man, nachdem das Maximum mit der 1 Ableitung bestätigt wurde und mit der zweiten Bestätigt? Danke schon mal für die Hilfe //bzw könnte ich mit einer Variable für den X-Wert von B rechnen? Das dieser dann entsprechend des gewünschten Definitionsbereich eingesetzt werden kann? |
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| 02.12.2014, 21:28 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast dann die Zielfunktion A(u)=(4-u)(7/16u²+2). Der Definitionsbereich für u liegt zwischen 0 und 4. Wenn du also das lokale Maximum in x=u_max mittels hinreichender Bedingung für Extrempunkte bestimmt hast, musst du anschließend auch noch die Randwerte A(0) und A(4) mit einbeziehen und dann gucken, ob diese Flächeninhalte global evtl sogar noch größer sind als A(u_max). |
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| 02.12.2014, 21:33 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay danke. Nochmal gefragt, wäre es denn nun möglich statt der 4 eine Variable zu haben ? Also als Eingrenzungsfaktor der Variable ist? |
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| 02.12.2014, 21:57 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst dein u2 als konstant ansehen und das dann die ganze Zeit mitschleppen. Damit musst du dann aber auch diverse Fallunterscheidungen mit einfließen lassen, z.B. ob u2<u oder u2>u gelten soll. Ob das aber so gemeint ist... Du kannst ja mal posten, wenn ihr das in der Schule besprochen habt. Mal sehen wie dein Lehrer das haben wollte. 
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| 02.12.2014, 21:59 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du mir helfen, es so zu berechnen? 
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| 02.12.2014, 22:05 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich hätte dann ja (u2-u)*(7/16u^2+2) Dann produktregel: A'(u)=1*(7/16u^2+2)+(u2-u)*(14/16u) = (7/16u^2+2)+14/16u*u2+14/16u^2 =(7/16u^2+2)+14*u2/16u+14/16u^2 |
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| 02.12.2014, 22:13 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ableitung von u2-u ist -1, denn du leitest ja nach u ab und u2 ist konstant. Damit das Rechteck auch wirklich unterhalb der Parabel verläuft, nehmen wir dann einfach mal an und beschränken uns damit mal auf die Situation im positiven Bereich (1. Quadrant). Die Produktregel KANNST du benutzen, Klammern auflösen und Potenzregel wäre auch möglich. Naja und dann eben die quadratische 1. Ableitung gleich null setzen und pq-Formel oder Ähnliches. Wie gesagt, es wird alles nach u aufgelöst und du hast denn eben noch u2 als Abhängigkeit überall drin. |
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| 02.12.2014, 22:27 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Und was war das nochmal mit der kontrolle von A(0) und A(4) Wenn B fest bei 4 wäre? Setze ich dann A(u2)? |
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| 02.12.2014, 22:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, jetzt A(0) und A(u2). Damit dann alles klar ? |
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| 02.12.2014, 22:40 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich jz normieren will habe ich ja u2 als konstanten faktor. A'(u)= -7/16u^2+14*u2/16u-2 Wenn ich jetzt die -7/16 durch 14*u2/16 teile was bekomme ich dann? |
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| 02.12.2014, 22:51 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab Wenn du das gleich null setzt und den 2. Summanden durch -21/16 teilst, dann verbleibt |
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| 02.12.2014, 22:54 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
urgghh dann such ich mal meinen fehler. Danke ! Die Ableitung war aber Korrekt bis auf die 1 ? |
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| 02.12.2014, 22:55 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis auf die 7. 
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| 02.12.2014, 22:58 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay hab meinen Fehler gefunden. Ich mach dann mal mit der pq weiter. Bist du noch etwas online ? 
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| 02.12.2014, 23:08 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe jz mit pq formal das raus : (2/3*u2)/2 +/- 1/3*(u2/2)+1,23 Kann ich die jetzt auf den selben Nenner bringen und dann abziehen und addieren? |
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| 02.12.2014, 23:18 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
u kann in der pq-Formel nicht mehr vorkommen, nur u2. Rauskommen sollte wohl (Vorsichtig Doppelbelegung mit u2) |
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| 02.12.2014, 23:23 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich kann also einfach den vorfaktor der konstanten u2 teilen und dann muss ich u2 nicht mehr durch 2 teilen? Ja hatte mich schon verbessert. Weiter kann man es dann nicht auflösen? Hatte überlegt die Wurzel von 4/9^2/4 und die wurzel aus 32/21 zu berechnen und wurzel aus u2/2^2 ist doch einfach u2/2 ? Dann hätte ich keine wurzel mehr und könnte vll noch weiter vereinfachen? Falls das nicht geht und ich dies nun einsetze kommt da ja ziemliche schei... raus 
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| 02.12.2014, 23:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nee so wirklich toll wird das nicht. 
Ich würds an der Stelle auch einfach so lassen und jetzt nur noch entscheiden, bei welcher der beiden Lösungen nun ein Maximum angenommen wird. Man könnte da vielleicht sagen, dass der Graph von A(u) von oben kommt und nach unten geht und deshalb bei der größeren der beiden Lösungen das Maximum liegen muss. Auf das Einsetzen in die 2. Ableitung hätte ich bei solch einem Term auch nicht wirklich Lust.
Naja ist denn dein Lehrer dafür bekannt, dass er euch solch grausige Sachen durchrechnen lässt ? |
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| 02.12.2014, 23:32 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also müsste ich jetzt jedes mal in die Zweite ableitung einsetzen ? A''(u)= -42/16u+7/8*u2 |
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| 02.12.2014, 23:35 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich nicht ... Ich denke er hat einfach vergessen zu sagen das u2 einen festen Wert hat. Aber ich bin ziemlich interessiert und freue mich wenn ich das lösen kann. Aber ohne deine Hilfe wäre ich nicht so weit gekommen bzw es wäre ziemlich fehlerhaft gewesen! Danke nochmals. Müsste ich jetzt auch noch Definitionsbereiche angeben? 1/9*u2 dürfte ja nicht kleiner sein als 32/21 sonst gäbe es ein - unter der wurzel? |
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| 02.12.2014, 23:38 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, sowas sollte man auch noch erwähnen, da es ja sonst keine Lösungen bzw Extremstellen gibt. |
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| 02.12.2014, 23:40 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay! Dann höre ich hier mal auf und mache die Aufgabe nochmal schnell mit einem festen u2. Vielen Danke für die schneller Hilfe, ich wünsche dir noch einen schönen Abend. 
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| 02.12.2014, 23:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wünsch ich dir auch und bitte schreibe morgen oder die Tage mal, wie dein Lehrer es gemeint hat.
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| 02.12.2014, 23:54 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mach ich morgen
Ich werde darauf bestehen, dass er es weiter rechnet 
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| 02.12.2014, 23:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, dann bis morgen.
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| 03.12.2014, 00:04 | josh29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis morgen, danke
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