Lebesgue-Integral von x^2 auf [0,1]

03.12.2014, 00:26	kingcools	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Integral von x^2 auf [0,1] Hallo, ich versuche gerade einmal das Lebesgueintegral praktisch auszurechnen. Dazu wollte ich eine nicht ganz triviale Funktion über einen einfachen Intervall integrieren. Daher behandle ich f(x) = x^2. Mein Problem tritt auf beim Finden einer geschlossenen Form für das Integral der auftretenden Folge einfacher Funktionen. Es gilt per Definition: $\begin{eqnarray} \int_{[0,1]} f(x) d\mu = \int f(x) \chi_{[0,1]} d\mu = sup \int s d\mu \end{eqnarray}$ mit einfacher Funktion s mit 0 <= s <= f. Aus meiner Vorlesung kenne ich folgende Konstruktion für punktweise gegen f konvergierende einfache Funktionen: [attach]36312[/attach] Bild aus externem Link eingefügt. Steffen Diese wollte ich anwenden, um das Integral auszuwerten. Hier ist: $\begin{eqnarray} E_{jk} = \{x: \frac{j-1}{2^k} <= x^2 \chi_{[0,1]} < \frac{j}{2^k} \} \end{eqnarray}$ Also sind (wegen der charakteristischen Funktion nur für j <= 2^k) die $\begin{eqnarray} E_{jk} = [\sqrt{\frac{j-1}{2^k}}, \sqrt{\frac{j}{2^k}}), j <= 2^k \end{eqnarray}$ halboffene Intervalle. $\begin{eqnarray} F_k \end{eqnarray}$ hat für k = 1 genau ein Element und sonst ist es leer. Daher wird diese Menge nicht weiter berücksichtigt, ihr (Lebesgue-)Maß ist immer Null. Gemäß der Definition des Skriptes gilt nun: $\begin{eqnarray} s_k = \sum_{j=1}^{k2^k} \frac{j-1}{2^k} \chi_{E_{jk}} \end{eqnarray}$ Für das Integral muss ich nun das Maß der Mengen $\begin{eqnarray} E_{jk} \end{eqnarray}$ bestimmen. Da es sich jeweils um Intervalle handelt, ist dieses gegeben zu: $\begin{eqnarray} \mu(E_{jk}) = \sqrt{\frac{j}{2^k}} - \sqrt{\frac{j-1}{2^k}} \end{eqnarray}$ Folglich ist das Integral von $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ gegeben zu: Die obere Grenze der Summe ist 2^k, da das Maß alle nachfolgenden Intervalle Null ist. $\begin{eqnarray} \int s_k d\mu = \sum_{j=1}^{2^k} \frac{j-1}{2^k} * (\sqrt{\frac{j}{2^k}} - \sqrt{\frac{j-1}{2^k}}) =\\ \frac{1}{2^k} * (\sqrt{\frac{2}{2^k}} - \sqrt{\frac{1}{2^k}}) + \frac{2}{2^k} * (\sqrt{\frac{3}{2^k}} - \sqrt{\frac{2}{2^k}}) + \dots + \frac{2^k - 1}{2^k} * (\sqrt{\frac{1}{1}} - \sqrt{\frac{2^k - 1}{2^k}}) \\= 1* \frac{2^k - 1}{2^k} - \frac{1}{2^k} * (\sqrt{\frac{1}{2^k}} + \sqrt{\frac{2}{2^k}} + \dots + \sqrt{\frac{2^k - 1}{2^k}}) \end{eqnarray*}$ So und hier komme ich nicht weiter. Eine geschlossene Form für die letzte Summe scheint es nicht zu geben, muss es aber, es sei denn ich habe mich verrechnet. Aus dem Riemannintegral weiß ich, dass als Ergebnis (im Grenzwert) 1/3 herauskommen muss. Ich weiß, viel Text. Ich freue mich über jede Hilfe.
03.12.2014, 12:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sieht richtig aus. Ich sehe leider gerade auch nicht wie man den letzten Grenzwert bestimmen kann. Wenigstens nicht ohne viel Arbeit. Du könnest natürlich eine angenehmere Treppenfunktion nehmen. Ich würde $\begin{eqnarray} E_{jk} = \{x: \frac{(j-1)^2}{2^k} <= x^2 \chi_{[0,1]} < \frac{j^2}{2^k} \} \end{eqnarray}$ . Damit nimmst du eine quadratische Aufteilung der y-Achse vor statt eine lineare.
03.12.2014, 15:00	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, danke für deinen Hinweis. Diese Herangehensweise hatte ich schon in einem anderen Thread gesehen und die funktioniert leichter, ob der fehlenden Wurzel. Allerdings interessiert mich tatsächlich, wie der Reihenwert bei meiner Rechnung am Ende berechnet wird. (D.h. ich würde es gerne auf diese Art berechnen) Das Problem ist also eine geschlossenen Form oder Grenzwertbestimmung von $\begin{eqnarray} \sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2^k - 1} \end{eqnarray}$ zu finden die kann es aber scheinbar nicht geben.
03.12.2014, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es gibt natürlich den "dummen" Weg. Man kann argumentieren, dass $\begin{eqnarray} \int_0^1 \sqrt x = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \left ( \sum_{k=1}^n \sqrt {\frac k n} \right) \end{eqnarray}$ . Das folgt daher, dass $\begin{eqnarray} \sqrt x \end{eqnarray}$ Riemann-integrierbar ist und man daher einfach feine Treppenfunktionen benutzen darf. Allerdings begründet man dann die eine Integration mit der anderen -- auch wenn man "nur" Riemann braucht.
03.12.2014, 18:54	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht doch um die Integration von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ , nicht um die von $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Ich habe nun einfach mal die auszuwertende Reihe mit Mathematica approximiert (einfach 2^5 und 2^10 betrachtet) und es konvergiert tatsächlich gegen 2/3. (Muss konvergieren, da es kleiner gleich 1 ist und monoton steigt) Ich konnte jedoch nirgends dafür eine Relation finden. Interessant. Dann sehe ich einfach mal die Relation von Lebesgue- und Riemannintegral als Herleitung an, dass 2/3 rauskommen muss. (wäre aber SEHR an einer direkten Ableitung davon interessiert) Danke!
03.12.2014, 18:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir die Relation gegeben. Deine Summe ist eine Approximation für den Flächeninhalt der Wurzelfunktion....und offensichtlich $\begin{eqnarray} \int_0^1 \sqrt x = \frac 2 3 \end{eqnarray}$ .
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03.12.2014, 19:06	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, du hast recht, entschuldige! Danke sehr!

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