Inverse Abbildung einer Bijektiven Abbildung immer bijektiv?

03.12.2014, 11:35

sdaD

Inverse Abbildung einer Bijektiven Abbildung immer bijektiv?

Ist, wenn f bijektiv ist, auch die inverse Korrespondenz f^-1 bijektiv?
In unserem Skript steht "offenbar", aber das einzige, was ich aus der Bijektivität von f rausbekomme, ist, dass f^-1 eine Abbildung ist verwirrt

03.12.2014, 12:54

Elvis

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Surjektiv ist klar, weil jedem y das Urbild x zugeordnet wird, und f ist linksvollständig. Injektiv ist klar, weil f eine Abbildung ist, d.h. weil f rechtseindeutig ist.
Man kann auch definieren, eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g:Y \to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_X, f\circ g =id_Y \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f^{-1}:=g \end{eqnarray*}$ ist dann wegen den Symmetrie der Definition bijektiv.

03.12.2014, 13:40

sdaD

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Zitat:

Original von Elvis
Surjektiv ist klar, weil jedem y das Urbild x zugeordnet wird, und f ist linksvollständig. Injektiv ist klar, weil f eine Abbildung ist, d.h. weil f rechtseindeutig ist.
Man kann auch definieren, eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g:Y \to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g\circ f=id_X, f\circ g =id_Y \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f^{-1}:=g \end{eqnarray*}$ ist dann wegen den Symmetrie der Definition bijektiv.

Achso, danke smile

(Das Problem war, dass die Behauptung aus irgendeinen Grund vor dem Beweis von

$\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1}:Y \to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f=id_X, f\circ f^{-1} =id_Y \end{eqnarray*}$ .

im Skript gesetzt wurde. Damit wäre ich wohl früher darauf gekommen :hammer smile

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